一、多维随机微分方程解的泛函重对数律（论文文献综述）
张晴晴[1]（2021）在《布朗运动与布朗单增量的局部极限定理》文中研究指明对布朗运动和布朗单极限性质的研究已有许多深刻的结果.本文继续对布朗运动和布朗单相关的样本轨道极限性质问题进行讨论.本文在前人研究的基础上,以布朗运动的大偏差为工具,对布朗运动和布朗单增量的局部极限定理进行研究.本文主要内容如下:首先,研究了布朗单增量的局部泛函重对数律,在布朗运动的局部重对数律结果的基础上,将其有关结果进行推广到两参局部的情形,得到了布朗单的局部重对数律.通过借助大偏差进行证明,得到了布朗单的局部极限定理.随后,以布朗单增量大偏差作为工具,证明得到了布朗单增量的局部极限定理.在证明过程中,我们对前人的方法做了本质改进.其次,研究了布朗运动增量的局部三重对数律.在布朗运动的局部重对数律结果的基础上,利用大偏差作为工具,通过对条件进行加强,证明得到了关于局部的三重对数律的理论结果,该结果是不同于局部重对数律的情形.最后,研究了布朗单增量一个推广的局部重对数律.对布朗单增量的局部极限定理的条件进行改进,理论结果证明了另外一种情形的局部重对数律,该结果也是对布朗单增量的局部极限定理的推广.
周文丰[2]（2020）在《基于结构系综理论的Rayleigh-Bénard热对流相似解及传热标度律》文中研究表明Rayleigh-Benard（RB）热对流是在一个封闭腔体中,下壁加热,上壁冷却,四周壁面绝热,在上下温差驱动下形成的流动系统,其边界条件简单,但传热系数努塞尔数（Nu）和运动强度雷诺数（Re）与代表驱动力的上下板温差瑞利数（Ra）、流体物性普朗特数（Pr）和宽高比（Γ）的关系十分复杂。研究该系统的对流传热机制对环境、大气、地球物理等人类社会活动有重要的科学价值。长久以来,RB热对流研究沿用的是本世纪初Grossmann和Lohse建立的描述全局物理量关系的理论（GL理论）,该理论将RB系统简化为边界层（boundary layer）和中心流动（bulk region）,推出全局物理量的关系式,因此无法精确刻画复杂因素对全局换热系数的影响。本文应用佘振苏教授近年来提出的结构系综理论,结合同伦分析和壁射流相关理论,对湍流RB热对流各区域的流动结构耦合机制及其对整体热流的贡献开展了定量研究并构建了各流动区域的二维自相似模型。本文首先获得了大尺度环流以及角涡的自相似多层结构模型。完成了 RB热对流三维（Ra=1 × 107～5 × 109,Pr=0.08～50）和二维（Ra=5 × 107～1 × 1010,Pr=0.01～104）直接数值模拟,基于流动物理特征将流场划分为“大尺度环流”、“角涡”、“斜射流再附区”、“逆压剪切区”、“羽流发射区”等五个区域。基于数值模拟流动的几何相似性,对中等Ra数与Pr数情况下的角涡和大尺度环流,构建了同伦变换的几何相似变量,结合流场时均流函数,提出了角涡及大尺度环流的运动相似解,基于所得参数唯一地定义了流动的特征雷诺数。基于结构系综理论,构建了大尺度结构在近壁区的多层结构函数。从而,建立了可刻画任意二维大尺度涡结构从中心到壁面的完整相似解。此外,将Castaing等人[1]提出的“混合区理论”延拓到角涡流动,在给定角涡尺度标度rcr～Ra0.085情况下,精确刻画了角涡特征雷诺数ReCr～Ra0.25与传热系数Nucr～Ra1/3关于Ra数的标度律关系。进一步,提出了大尺度环流诱发斜射流再附壁面的“壁射流”机制并获得了流动自相似解。发现了以壁射流局部动量率作为近壁流动的特征量归一化最大速度与特征高度所满足的自相似标度关系式。通过分离变量法,推导出壁射流传热系数指数衰减律Nuimp=Numaxexp（-x#）。通过热量输运的动力学平衡以及角涡的标度关系,获得了 Nu数与Ra数的标度关系,Numax～Ra0.2925。基于结构系综理论的对称性分析,给出了逆压梯度边界层的速度和温度剖面随流向变化的解析表达式和羽流发射区的温度分布。基于湍流普朗特数流向与Ra数不变性假设,导出了热流与摩阻以及动量和热量输运涡尺度比值的关系式。根据羽流发射的平衡机制,确认局部传热系数标度律Nu～Ra0.369。由区域空间占比的加权平均局部热流准确计算出全局Nu数与Ra数的定量关系,继而成功推广到其他几何工况下的对流传热过程。最后,应用结构系综理论刻画速度和温度边界层的Pr数效应。研究确认了速度边界层的应力长序函数的两层结构与Pr数无关,还发现随着Pr数减小,压力梯度的作用将逐渐减弱,特征涡尺度减小而粘性底层厚度在增厚。对于温度边界层,应力长满足三层结构,且随着Pr数增大,导热底层以及温度缓冲层厚度增加。应用结构系综理论的参数分析方法,获得了热卡门系数的流向变化规律以及Pr数效应,其结果与计算数相吻合。综上所述,本研究将结构系综理论推广到有热流存在的湍流热对流并提出了二维大尺度分离流动和传热的相似解,给出精确刻画湍流热对流局部平均速度和热流的相似理论。
黄浩[3]（2018）在《几类脉冲随机泛函微分系统的可控性与稳定性》文中指出本文主要研究Hilbert空间框架下四类时滞依赖于状态的无穷维随机中立型泛函微分系统温和解的存在性和可控性;另外,还讨论了一类具Markov调制的脉冲随机泛函微分系统的p阶矩指数稳定性.本文所做的主要工作包括以下几个方面:第一章概述了有限维随机微分方程和无穷维随机微分系统的研究现状和意义.第二章简要介绍了与本论文相关的预备知识,主要包括随机微分方程理论、Q-Wiener过程与无穷维随机积分、泊松点过程和泊松随机测度、积分微分（发展）方程与预解算子理论、二阶抽象微分方程理论、几个常用的不动点定理与不等式.第三章研究了一类时滞依赖于状态的一阶脉冲中立型随机积分微分方程解的存在性和可控性.在预解算子非紧的前提下,利用不动点定理、解析预解算子理论、分数阶算子理论和α模理论,在合适的条件下获得了温和解的存在性和系统可控性.最后,以带有退化记忆的随机热传导方程为例,说明结果的有效性.第四章考虑了一类时滞依赖于状态的一阶脉冲中立型随机积分微分发展方程解的存在性和可控性.利用Banach不动点定理、Sadovskii不动点定理和解析预解算子理论,在合适的条件下获得了温和解的存在性和系统可控性,所得结果推广了已有文献中的相关结论.第五章讨论了一类时滞依赖于状态的二阶脉冲中立型随机积分微分发展方程解的存在性和可控性.首先,我们借助二阶发展方程基础理论,在不同的假设条件下,分别利用Sadovskii不动点定理与Krasnoselskii-Schaefer不动点定理,建立了温和解的存在性;然后,在合适的条件下,利用Banach不动点定理获得了所论方程的可控性,并且将所得的结果应用到时滞依赖于状态的二阶脉冲中立型随机波动方程上,获得了相关结论.第六章研究了一类带有泊松跳的时滞依赖于状态的二阶脉冲中立型随机微分方程的渐近可控性.利用有界线性算子强连续余弦族理论、Sadovskii不动点定理和随机分析技巧,在合适的条件下,得到了所论方程的渐近可控性,并且将所得结果应用到带有泊松跳的时滞依赖于状态的二阶脉冲中立型随机波动方程上,获得了相关结论.第七章中,我们利用Lyapunov泛函方法、Razumikhin技巧和随机分析技巧,针对一类具Markov调制的一阶脉冲随机泛函微分系统,获得了其解p阶矩指数稳定性的判别条件.该结果表明,对于有些不稳定的具Markov调制的随机泛函微分方程,在脉冲的影响下反而会变得稳定.最后,我们用两个数据仿真实例说明了这一点.
彭实戈[4]（2017）在《非线性期望的理论、方法及意义》文中研究指明本文是非线性期望理论进展的一个综述,首先给出非线性期望空间的基本定义,并通过非线性期望的表示定理和几个典型的非线性独立同分布（i.i.d.）的例子来说明为什么这个新框架可以广泛地用来分析和计算现实世界（高维）数据背后隐藏的概率和统计分布的不确定性;进而介绍次线性期望空间中两个最重要的统计分布—非线性正态分布和最大分布,以及相应的非线性大数定律和中心极限定理,是新领域的基础性和关键性的突破,其典型的应用就是对于现实的（高维）样本数据的非常简单而深刻的φ-max-mean算法.本文还介绍一个最重要的连续时间随机过程——非线性Brown运动及相关随机分析,包括随机积分、随机微分方程和非线性鞅理论.新的理论框架实质性地推广了Kolmogorov于1933年建立的、以概率测度为核心的概率论公理体系（?,F,P）.其关键不同的是,其核心概念是（非线性）期望ê,期望为线性的特殊情形对应着概率论公理体系.正是这种非线性使人们能够对于现实世界中无处不在的概率模型本身的不确定性也能进行定量的分析和计算.从而实质性地放宽了概率统计理论中对于现实世界的随机数据的统计假设要求,本文也因而获得了实际样本数据的非线性分布的φ-max-mean算法,它是一种新的非线性Monté-Carlo算法.
魏玮[5]（2017）在《非线性数学期望下的贝叶斯推断及随机微分方程》文中研究表明对非线性数学期望下概率与统计相关问题的研究,一方面是概率论基础理论研究的发展趋势,另一方面源于人们对于金融市场中日益增长的不确定性问题的探索。20世纪70年代,现代意义的金融衍生品在美国诞生,日益增加的衍生品交易额在为市场机构带来巨大的利润的同时,也蕴藏了极大的风险。如何采用适当的方法来评估、管理和控制来自衍生品交易的内在风险显得尤为重要,金融市场风险度量已成为全球经济学家与数学家研究的重点领域。一个非常具有挑战性的问题是,金融衍生品的风险行为是非线性的,经典概率论中对于概率和期望的线性假设已经难以刻画风险行为的次线性本质。许多专家因此引入了非线性期望的概念来度量不确定性。比如Peng （1997）通过倒向随机微分方程引入了一种重要的非线性期望g-期望,用来度量概率不确定性模型的随机性和风险,可参见 Chen 和 Epstein （2002）, Frittelli 和 Gianin （2004）, Peng（2004）。Artzner, Delbaen, Eber和Heath （1999）引入了一致风险度量的概念,即将金融衍生品的未来不确定性看作一个随机变量X,将其风险度量看作赋予在随机变量X上的一个次线性泛函ρ[X],本质上就是次线性数学期望。因此,次线性期望提供了衡量不确定性损失X的一种稳健性方法。在g-期望的基础上,Peng （2007）进一步引入了一个更加一般的次线性期望框架一-G-期望。在G-期望框架下,Peng引入了 G-正态分布、G-期望和G-布朗运动的概念,后两者可视为对Wiener测度和经典的布朗运动在非线性下的推广。Peng证明了非线性期望的理论基础（次线性期望下的大数定律和中心极限定理）,并建立了 G-Ito随机积分,可参见Peng （2007, 2008, 2009, 2010）。基于Peng的开创性工作,许多学者进行了相应的推广,例如,Chen （2010）,Chen, Wu和Li （2013）等研究了强大数定律,这些结果是对Peng （2007, 2008）中“弱”大数定律的推广,Denis, Hu和Peng （2011）研究了 G-期望的表示定理和轨道性质,Li和Peng （2011）对停时和一般的G-Ito公式进行了研究,Gao （2009）,Peng （2010）,Lin （2013）研究了 G-布朗运动驱动的随机微分方程（以下简称G-SDE,或G-随机微分方程）的解的相关性质,更多内容可参见Xu和 Zhang （2009）,Hu 和 Peng （2009）,Gao 和 Jiang （2010）,Hu 和 Zhang （2010）,Song（2012）,Nutz （2013）,Nutz 和 Van Handel （2013）,Hu,Ji,Peng 和 Song （2014）,Peng 和Song （2015）, Zhang 和 Chen （2015）,Hu, Wang 和 Zheng （2016）等。受到以上内容的启发,本篇博士论文进行了部分研究工作,主要内容包括:1.首次提出了在不确定性环境下,计算贝叶斯后验分布最大期望与最小期望的一种新方法——PSI方法,创新性地引入辅助性的超先验分布并将不确定性因素参数化,从而将方法广泛地应用于多种不确定性情形下。2.研究了 G-随机微分方程解的渐近估计,得到了次线性期望空间下G-随机微分方程解的重对数估计,且给出了一类多维G-随机微分方程解的渐近估计并推广到更一般的形式。3.对G-随机微分方程解的相关性质进行深入研究,分别探讨了一阶和二阶G-随机微分方程解的有界性与平稳性,给出了有界性与平稳性的充分条件并举出相应的例证。4.进一步研究G-期望空间的相关性质,将Lyapunov定理从经典的单一线性概率情形推广到了 G-期望下一族概率测度的情形,给出了 G-随机微分方程的解在容度意义下的平稳性。下面我们来介绍一下每章的工作,这些结果是由我在博士期间完成的五篇论文整合而成的,其中两篇已在SCI期刊正式发表,其余三篇已送审。第一章本章给出了不确定性环境下,计算贝叶斯后验分布最大期望与最小期望的一种新方法——PSI方法,可将诸如先验分布或者似然函数选择的多种不确定性考虑在内,将不确定性都通过不确定性指标进行参数化,且在这个指标参数的基础上创新性地引入辅助性的超先验分布,运用Metropolis算法生成Monte Carlo样本,并对后验分布的最大期望与最小期望进行估计。本章最大的贡献就是对于所有可能的不确定性场景,都只需要进行一次Monte Carlo抽样来计算后验分布期望,从而大大减少了传统分析法中繁琐的运算量。· 1.1 PSI算法及理论支持我们提出的算法有三个步骤（记做PSI）:1. （Prior Step）引入参数λ的辅助性超先验分布π（λ）,其中参数λ代表不确定性。2. （Sampling Step）对于任意目标参数X,利用MCMC方法,从给定观测样本数据条件下的联合后验分布中进行（X,λ）的样本抽样:注意到在很多时候,目标参数X = F（θ, λ）可能是标量函数,其中θ是模型中生成数据的结构参数。在更一般的情形下,我们可以将Sampling Step拆分为下面两个步骤:（1）利用MCMC方法从（θ,λ）的联合后验分布中抽样,其中θ是数据生成过程中的结构参数。（2）对于任意目标参数X = F（θ,λ）,可计算相应的后验分布的（X,λ）样本。3. （Inference Step）基于（X,λ）的后验样本,我们可以估计后验分布期望的范围以及相应的其他任意后验分布分位数的范围。本节我们给出了 PSI算法的理论依据。命题0.1说明,从联合分布中抽样出的MCMC样本的模拟计算值,是后验分布期望的一致相合估计。命题0.1.令目标条件后验分布函数为其中λ ∈ λ。假设π（·）是满足（H）的辅助性先验分布函数:（H）对于所有的λ ∈ A,密度函数π（λ） > 0。令是从下面的联合后验分布中导出的条件分布函数则有（i）对于所有的X,以及所有的λ∈∧,π（X丨λ,D）=（X|D,λ）。（ii）令为目标后验分布最大期望。则对于满足（H）条件的任意辅助性先验密度函数π（λ）,都有（iii）令S知=Xt,λt)t∈T为Monte Corlo样本。μ（λ｜ST）是μ（λ）=,E（X｜D，λ）的一致相合估计,对于任意的则supμ（λ|ST）是后验分布最大期望的一致相合估计:即对于任意大于零的,· 1.2多种不确定性环境下的数值分析我们将算法推广到应用层面,给出了先验分布不确定、模型选择不确定以及数据不确定等不确定性环境下计算后验分布最大期望与最小期望的数值分析,详细的案例分析请参见正文部分。我们采用模拟数据,分别利用局部加权回归散点平滑法（locally weighted scatterplot smoothing,简记为 lowess）以及Metropolis-Hastings 抽样算法完成贝叶斯推断分析。所有程序均使用R语言编程实现。第二章我们在本章中研究G-随机微分方程的解的渐近估计,给出了次线性期望空间下G-随机微分方程解的重对数估计,以及一类多维G-随机微分方程解的渐近估计并推广到了更一般的形式。我们考虑由m维G-布朗运动驱动的d维随机微分方程其中1≤ i ，j ≤ m,初始值Xt0=X0∈Rd 其中Bt是m维的G-布朗运动。假设方程的系数f,hi和gij满足相应条件,从而使得方程在[t0,∞)上有一个唯一的解Xt。定理0.1.假设存在两个大于零的常数λ和η使得,对于所有的（x,t）∈ Rd[t0,∞),有.则方程（0.0.2）的解有如下性质· 2.1 G-随机微分方程解的重对数估计接下来,我们考虑方程（0.0.2）的一个特殊形式,即其中1 ≤ i,j ≤ m,初始值Xt0= ∈ Rd,∧i是给定的矩阵∧ ∈ Rd×m的第i列。定理0.2.假设存在一对大于零的常数ρ1,ρ2使得对于所有的（x,t） ∈ Rd ×[t0,∞),对某些ε > 0以及所有的t ≥ t0,δ > 0,方程（0.0.5）的解满足则有性质注记0.1.众所周知,在经典线性概率空间下,重对数律（LIL）是最重要的极限定理之Chen和Hu （2014）给出了非线性期望下的重对数律,与经典情形下收敛到一个固定点不同的是,非线性期望下的重对数律是收敛到一个区间,即:其中v是相应的Choquet容度。因此定理0.2可被看做非线性条件下G-随机微分方程解的重对数估计。· 2.2多维G-随机微分方程解的渐近估计定理0.3.假设存在三个大于零的常数γ, ρ1和ρ2,使得对于所有的（x，t）∈Rd× t ∞),且对于某些ε > 0和所有的t≥t0 随机微分方程（0.0.5）的解满足则方程的解存在性质注记0.2.值得注意的是,定理0.3的结论是独立于ρ1,ρ2和∧的。事实上,由（0.0.9）可推出当t足够大时,对于几乎所有的ω∈Ω,因此可得定理0.4.假设存在三个大于零的常数γ, Pi和ρ2,使得对于所有的（x,t）∈Rd× [t0,∞),有对于某些ε > 0以及所有的t ≥ t0, δ > 0,随机微分方程（0.0.5）的解满足则它的解有如下性质:注记0.3.事实上,只要f和gij线性增长,定理0.2-0.4中的G-Novikov条件就都满足。在这种情况下,只要系数h（x,t）是有界的,上述的结论都可以适用于随机微分方程（0.0.2）。更具体的说,如果存在一个G > 0使得对于所有的（x,t）∈Rd ×[t0,∞)成立,则定理0.3-0.4的结论对于随机微分方程（0.0.2）也依然成立,相应的（0.0.7）和（0.0.13）中的｜｜A｜｜应该替换为C。第三章本章的工作分为两大部分,第一部分在次线性期望下,研究一阶G-随机微分方程解的有界性与平稳性,并给出相应的例证。第二部分,对二阶G-随机微分方程解的有界性与平稳性进行研究,并给出相应的有界性与平稳性的充分条件。· 3.1 一阶G-随机微分方程解的有界性与平稳性记C（R+;R+）为非负域下的连续函数族。令C1,2（Rd× R+;R+）为定义在Rd × R+上的非负函数族V（x,t）,关于x二阶连续可导且关于t连续可导。现在我们考虑以下由m维G-布朗运动驱动的d维随机微分方程初始值Xt0= x0 ∈ Rd,≥ 0。（Bi,Bj>=（<Bi,Bj>）i,j=1,…,m是B的交互变差矩阵。在C1,2（Rd×R+;R+）上定义一个算子L,如下所示我们做以下假设:（H1）系数f,gi,hij:Rd × [0, ∞） →Rd是关于t连续且关于x满足局部Lipschitz条件的确定性函数,即对于每个x,x’∈B0（R）:={a:｜a｜ ≤R},存在在一大于零的且仅依赖于R的常数CR,使得对于每个t ∈ [0, ∞),（H2）存在一个 Lyapunov 函数V∈C1,2 （Rd×[0,∞）;R+),满足以及一个函数δ∈C（E+;]R+）,使得对于某些常数C > 0和所有（x.t） ∈ Rd× [0, ∞),有定理0.5.满足（H1）和（H2）时,G-随机微分方程（0.0.14）存在一个唯一的解。定理0.6.假设C1,2（Rd×R+;R+）气妒× R+;R+)上存在一个函数V（x,t）,使得对于所有的（x,t）∈常数。则对于所有的t ≥ tO,（0.0.14）的所有解满足定理0.7.假设存在C1,2（Rd× R+;R+）中的函数V（x,t）,使得对于所有的（x,t） ∈Rd × R+,满足其中α,η ∈ C（R+;R+）,w,v,q是大于零的常数,w ≥ 1,且ρ是一个非负的常数。则对于所有的t≥t0,（0.0.14）的所有解满足定理0.8.假设存在C1,2（Rd×R+;R+）中的函数V（x,t）,对于所有的（x,t） ∈Rd×R+,有其中α,η∈C（R+;R+）,w,v是大于零的常数,w＞1,ρ是一个非负的常数。则对于所有的t ≥ t0,（0.0.14）的所有解满足定理0.9. 1.若定理0.6或定理0.7的假设成立,且存在大于零的常数M,使得则（0.0.14）所有的解都是一致随机有界的。2.若定理0.7的假设成立,且满足条件（0.0.27）,则（0.0.14）所有的解都是随机有界的。定理0.10.假设f（0,t） = 0, g（0,t）= 0和h（0,t） = 0。存在大于零的常数M,使得1.如果定理0.5的假设成立,则（0.0.14）的零解在G-期望下是α-指数渐近平稳的且m = 1/w。2.如果定理0.7的假设成立,则（0.0.14）的零解在G-期望下是α-一致指数渐近平稳的且m = 1/w。· 3.2二阶G-随机微分方程解的有界性与平稳性· 3.2.1 关于时间的二阶G-随机微分方程考虑G-随机微分方程其中α和β是大于零的常数。函数g在R2上连续,且满足局部Lipschitz条件,从而可保证（0.0.30）存在一个唯一连续解,记作X=（xt,yt）。定义连续可微函数V（X,t）=V（xt,yt,t）如下其中α,β是大于零的常数。我们现在来研究G-随机微分方程（0.0.30）解的有关性质。定理0.11.假设L,K和C是大于零的常数,满足存在大于零的常数D0=D0（α,β） = 和D1=D1（α,β） 使得对于所有的t ≥ 0, x和y成立。则随机微分方程（0.0.30）的解Xt=（xt,yt）是一致随机有界的。定理0.12.如果定理0.11的假设成立,则随机微分方程（0.0.30）的解Xt =（xt,yt）是随机有界的。定理0.13.如果定理0.11的假设成立。不妨假设存在大于零的常数M,使得则随机微分方程（0.0.30）的平凡解在G-期望下是α-指数渐近平稳的且m = 1/w。定理0.14.如果定理0.11的假设成立。不妨假设存在大于零的常数M,使得则随机微分方程（0.0.30）的平凡解在G-期望下是α-一致指数渐近平稳的且有m = 1/w。·3.2.2关于二次变差过程的二阶G-随机微分方程考虑下面的G-随机微分方程其中α和β是大于零的常数。函数g在R2上连续,且满足局部Lipschitz条件,从而可保证（0.0.37）存在一个唯一连续解,记作X= （xt,yt） 需要指出的是,与线性期望空间下不同,G-期望空间下G-布朗运动的二次变差过程为（B）t,与t不同。因此我们对关于二次变差过程的G-随机微分方程进行了研究。沿用前一节的连续可微函数V（X,t）=V（xt,yt.t）,我们研究了 G-随机微分方程（0.0.37）解的性质。定理0.15.假设L,K（和C是大于零的常数,使得存在大于零的常数D0= D0（α,β）,D1=D1（α,β）,使得对于所有t ≥ 0, x和y成立。随机微分方程（0.0.37）的解Xt = （xt,yt）是一致随机有界的。定理0.16.如果定理0.15的假设成立,则随机微分方程（0.0.37）的解Xt=（xt,yt）的解是随机有界的。定理0.17.如果定理0.15的假设成立。存在大于零的常数M,使得则随机微分方程（0.0.37）的平凡解在G-期望下是α-指数渐近平稳的且有m =1/w。定理0.18.如果定理0.15的假设成立。假定存在大于零的常数M,使得则随机微分方程（0.0.37）的平凡解在G-期望下是α-一致指数渐近平稳的且有m = 1/w。第四章本章进一步研究G-期望空间的相关性质,将Lyapunov定理从经典的单一线性概率情形推广到了 G-期望下一族概率测度的情形,给出了 G-随机微分方程的解在容度意义下的平稳性。定理0.19.考虑下列G-随机微分方程初始值Xt0=x0。若存在正定函数V（x,t）∈ e C1,2（Sn× [0,∞））使得对任意的（x,t） ∈S× [0, ∞),有则G-随机微分方程（0.0.43）的平凡解依容度u随机平稳。定理0.20.若存在正定渐减函数V（x,t）∈C2,1（Sh × [0,∞）)使得为负定函数,则方程（0.0.43）的平凡解在容度V意义下随机渐近平稳。定理0.21.若存在正定渐减径向无界的函数V（x,t） ∈C2,1（R× [0,∞）)使得为负定的,则方程（0.0.43）的平凡解在容度V意义下随机充分渐近平稳。注记0.4.实际上,在上述三个定理的证明中考虑下列函数由类似的方法,可以将上述结果推广到下列h≠ 0的G-随机微分方程。
张淼[6]（2016）在《非线性期望下的极限理论及其在金融中的应用》文中指出对非线性期望空间中极限理论的研究,一方面源于近些年人们对数量经济、金融风险度量和量子力学等领域中不确定性和模糊问题的思考,另一方面也是经典线性概率论与数理统计中基础理论研究发展的一个趋势。自从20世纪现代意义的金融衍生品诞生以来,风险便再也没有离开过金融市场。无论是盛极一时的长期资本管理公司（Long Term Capital Management）的昙花一现,还是拥有着百年历史的雷曼兄弟（Lehman Brothers）的轰然倒塌,都与充满着不确定性的金融风险息息相关。早在1921年,Knight （1921）就对金融市场中传统意义上的风险进行了区分,一类来源于可以计量的不确定性,即市场参与者对刻画金融产品的概率分布有广泛的共识,这种不确定性称之为Knight意义下的风险（Knightian Risk）;另一类来源于不可计量的不确定性,即风险管理者们不能把握金融产品确切的概率分布,或者市场参与者们对金融产品持有一族不同概率测度P,这种不确定性称为Knight不确定性（Knightian Uncertainty）或者模糊（Ambiguity）。对于模糊的研究,一直是经济和金融领域中的一个重要问题,比如Ellsberg （1961）中着名的Ellsberg悖论,诺贝尔经济学奖获得者的工作Hansen, Sargent和Tallarini （1999）, Hansen和Sargent （2001）中借助模糊对宏观经济的讨论,以及在资本市场价格行为领域里Epstein和Wang （1994）, Chen和Epstein （2002）对资产定价理论的研究。研究中人们发现,经典概率论中对于概率和期望的线性假设已经难以刻画风险行为的次线性本质。针对这些问题,Peng（1997）在倒向随机微分方程（BSDE）的基础上提出了一项全新的非线性期望-g-期望,对金融中很多不确定性问题做出了合理的解释。另一方面Artzner, Delbaen, Eber和Heath（1999）从金融数学的角度引入了一致风险度量（Coherent Risk Measure）的概念,即赋予在未定权益X上的一个次线性泛函ρ（X）,其本质就是次线性数学期望。实际上,研究风险的次线性行为就是研究次线性期望,而在不确定性环境下,次线性期望也给人们评估金融风险提供了一个稳健的方法。然而在以往借助g-期望或一致风险度量对金融问题的研究中,通常都是对有限个金融产品的组合在给定的一段时间上进行讨论,比如Barrieu和Karoui （2004）, Chen和Kulperger （2006）, Biagini, Fouque, Frittelli和Meyer-Brandis （2015）。随着大数据时代金融数据爆炸式的激增,和对未来金融风险预测需求的加剧,如何在不确定的环境下利用这些稳健的工具对金融市场中未定权益的极限行为进行评估,便成为一个有趣的问题。另一方面,除了能够恰如其分的对金融和经济问题进行解释之外,非线性期望和容度也有非常重要的理论价值。实际上早在1953年,Choquet（1953）就首次引入了容度（Capacity）和Choquet积分的概念,这是经典线性概率论的一个重要发展；受到随机集的启发,Dempster（1967）用不同的方式定义了上下概率和相应的期望；在g-期望的基础上,Peng（2010）进一步引入了一个更加一般的次线性期望框架——G-期望。特别的,这些非线性期望空间中的极限理论,作为经典概率论基础理论的重要发展和延续,一直是学者们关心和研究的一个热点,相关的工作请参见Walley和Fine （1982）,Dow和W-erlang （1994）, Marinacci （1999）, Epstein和Schneider （2003）, Maccheroni 和 Marinacci （2005）, Cooman和Miranda（2008）, Chen和Wu（2011）, Chen, Wu和Li （2013）, Teran （2013）, Zhang （2014）, Chen和Chen（2014）。这些学者们在不同的空间中利用不同的假设条件得到了许多有意义的结果,然而如何对他们的假设条件进行弱化,给出一般次线性期望空间下的极限定理也是一个很有意义的问题。针对上述问题,本篇博士论文主要进行了下列研究工作,得到的结果是比较有趣和有创新性的：1、从一个金融问题出发,借助g-期望的性质研究了股票价格在Knight不确定性环境下的极限行为,并将方法推广到一族不连续概率测度的最大期望生成的次线性期望空间中。2、对g-期望空间中布朗运动的极限理论进行了深入的研究,首次发现了一般次线性期望空间和g-期望空间的极限关系,给出了联结两个次线性空间的大数定律,这是一个很有创新性的结果,由此我们得到了一般次线性期望空间中随机变量不同形式的大数定律及其相互等价条件,随后将研究结果应用到某些实际的金融风险度量问题中,同时对股票价格的极限行为也有了更深的理解。3、借助次线性期望下的极限理论对数论中若干着名的猜想进行了讨论和再认识,首次在容度意义下给出了部分支持性结论。虽然随机框架下的证明并不意味着数论猜想的解决,但鉴于概率论中某些极限定理的最初思想正是来源于数论,我们认为,这种讨论和再认识作为概率论对数论的一种回归也是一个非常有趣的问题。4、进一步研究了G-期望空间中的大数定律,最后我们将经典随机分析中的某些方程平稳性和收敛问题推广到了G-随机分析的框架下。下面我们就来介绍下每章的工作,这些结果由我在博士期间完成的7篇论文整合而成,其中2篇已经在SCI期刊上正式发表。第一章我们从一个金融问题出发,在Chen和Epstein（2002）的框架下,研究了金融市场中基础证券—股票的价格在Knight不确定性环境下的极限行为,首次得到了g-期望空间（Ω,F,εκ,Pκ）中股票价格的大数定律。随后我们将该方法推广到由最大期望EP=supP∈PEP生成的次线性期望空间（Ω,F,P,EP）中,给出了一列指数独立随机变量的大数定律,与g-期望空间不同的是,概率测度族P中的概率不再绝对连续。·1.1 Knight不确定性环境下股票价格的大数定律本章中,以下列几何布朗运动表示金融市场中的股票价格：其中h,σ≥0为常数,S0为正值随机变量。定义1.与Chen和Epstein（2002）一样,我们引入下列概率测度族来描述金融市场中的Knight不确定性环境,即常数k用来表示市场中模糊性的程度,被记为κ-忽略（Ignorance）。定义概率测度族Pκ的最大概率和最小概率为和（PK,PK）实际上为倒向随机微分方程在生成元函数g（t,y,z）=k|z|时诱导的一对g-风险容度,不具有线性的可列可加性。同时由于g-期望和g-容度的时间一致性,我们对上述定义中的符号不做时间上的区分。定理1.令{Si)i=1∞为股票价格过程（0.0.1）在时刻t=1,2,...的值,记Sn=logSn-log So,且κ:=h-1/2σ2+kσ和κ:=h-1/2σ2-kσ,则对任意的ε>0有和在市场中,波动率一般是正的,但我们依然给出对σ≤0的数学结果。推论1.当σ<0时,令{Si}i=1∞为随机微分方程（0.0.1）的解在t=1,2,...的值,记Sn=log Sn-log S0,则对任意的ε>0有和推论2.当σ=0时,记Sn=log Sn-log S0,则对任意的ε>0有下列结果给出了Knight不确定性环境下股票价格在无穷时刻的一个稳健的区间估计。定理2.对任意的ε>0,1.当σ≥0时,有2.当σ<0时,有·1.2股票价格的大数定律在一般次线性期望空间中的推广我们将定理1的方法推广到更一般的次线性期望空间中,首先在9-期望空间中考虑下列更为一般的方程形式定理3.考虑上述FBSDE系统,若其中9函数与y无关,且对z具有次可加性和正齐次性。记εg和（Pg,Pg）为相应的g-期望与g-容度。令Sn=∑i=1nXi= ∑i=1n（φi（Xi）-φi-1（X-1））,若存在可测函数φi使得对任意的i∈N+有εg[Xi]=εg[X1]和-εg[-Xi]=-εg[-X1],且εg[Xi2]<∞,则对任意的ε>0有和在g一期望框架下,Pκ中的概率测度是绝对连续的。对更为一般的非空概率测度集合P,考虑由最大期望EP[X]:=supP∈PEp[X]生成的次线性期望空间（Ω,F,P,EP）。定义2.（指数独立）在次线性期望空间（Ω,F,P,EP）中,若对指数函数φ（x）=ex,有称随机变量Y在EP[·]下指数独立于X。相应的,若对任意的i=1,2,…,Xi+1指数独立于∑j=1i,Xj,则称一列随机变量{Xi}i=1∞满足指数独立。指数独立实际上是经典概率论中负相关概念在次线性期望空间下的延伸,可见第一章注记1.10的讨论。在指数独立条件下我们有下列大数定律：定理4.假若{Xi}i=1∞为次线性期望空间（Ω,F,P,EP）中一列指数独立的随机变量,若对某些Ω>0,有supi∈N+EP[|Xi|1+α]<∞,EP[Xi]=μ和EP[-Xi]=μ。记 Sn=∑i=1nXi,并且VP（A）:=supP∈PP（A）,vP（A）:=invP∈PP（A）为相应的上下容度。则对任意的ε>0有和第二章 本章的工作分为两大部分,受第一章启发,我们对g-期望空间下布朗运动的极限理论进行了深入的研究,得到了布朗运动两种形式的大数定律,及其大偏差原理和中心极限定理。另一方面,与以往极限理论研究中只针对一个空间不同,我们首次发现了一般次线性期望空间（Q,F,E）和g-期望空间（Ω,F,εg）的极限关系,给出了联结两个空间的大数定律,这意味着（Ω,F：E）中∑i=1nXi/n的极限行为都可以由（Q,F,εg）下布朗运动的均值鲁来进行研究。借助后者的性质,我们给出（Q,F,E）中卷积独立随机变量多种形式的大数定律及其相互等价条件。与第一章不同的是,本章的次线性期望E不需要是一族概率生成的最大期望,且随机变量的独立假设更为一般,因此证明方法也完全不同。随后我们将研究结果应用到某些实际的金融风险度量情形中,同时对股票价格的极限行为也有了更深的理解。·2.1 g-期望空间下布朗运动的极限理论定义3.考虑（Ω.F,P）中两个倒向随机微分方程：和其中μ≤μ。上述两个倒向随机微分方程诱导的g-期望和g-容度分别记为（εg,Pg）和（εg,Pg）。由于g-期望和g-容度的时间一致性,和第一章一样我们对符号不做时间上的区分。引理1.εg|ζ|=-εg[-ζ],ζ∈L2（Ω,F,P）.由引理1,记（Ω,F,εg）为倒向随机微分方程（0.0.2）和（0.0.3）诱导的g-期望空间,其中（Pg,Pg）为空间中的上下g-容度。下边我们介绍（Ω,F,εg）中布朗运动的两条大数定律,及其大偏差原理和中心极限定理。定理5.在g-期望空间（Ω,F,εg）中,我们有下列期望形式的大数定律,即对任意的函数φ∈Cb（R）,定理6.记Pg为倒向随机微分方程（0.0.3）诱导的g-容度,即Pg（A）=εg[IA]=-εg[-IA]。则对于任意的ε>0,有定理7.在g-期望空间（Ω,F,εg）中,下列两条大数定律相互等价：1.对于任意的￡>0,有2.对任意的函数φ∈Cb（R）,有定理8.记Pg和Pg分别为g-期望空间（Q,F,εg）中的上下g-容度,即Pg（A）=εg[IA]和Pg（A）=εg[IA]=-ε[-IA],则布朗运动有下列的大偏差原理：1.对任意的2.对任意的3.对任意的4.对任意的定理9.在g-期望空间（Ω,F,εg）中,布朗运动有下列的中心极限定理,即对任意的X∈R：和其中Φ（X）是标准正态分布的概率分布函数。·2.2一般次线性期望空间与g-期望空间的极限关系定义4.考虑可测空间（Ω,F）,记H为其上随机变量的集合。如果可测空间（Ω,F,H）上的泛函E：H→（-∞,+∞）满足下列四条性质,称E为一个次线性期望,即1.单调性：E[X]≥E[Y]若X≥Y；2.保常性：E[c]=c若c为常数;3.次可加性：E[X+Y]≤E[X]+E[Y];4.正齐次性：E[λX]=λE[X]若常数λ≥0.称（Q,F,E）为次线性期望空间。对给定的次线性期望E,定义其相应的对偶期望为ε[X]=-E[-X],相应的一对伴随容度分别为V（A）=E[IA],v（A）=ε[IA],A∈F,这里的次线性期望E比第一章中的EP更为一般,不必是一族概率生成的最大期望的形式。定义5.（卷积独立）在次线性期望空间（Q,F,E）中,若对给定的函数φ有则称随机变量Y∈H关于φ在次线性期望E下卷积独立于X∈H。相应的,若对任意的i=1,2,…,Xi+1关于φ卷积独立于∑j=1iXj,则称一列随机变量{X}I=1∞（?）H在次线性期望E下满足关于φ的卷积独立。次线性期望下卷积独立的思想,源于经典概率论中比独立还要弱的卷积关系,也进一步放宽了Peng（2010）中随机变量在G-期望下的独立性假设,详细的分析请参见第二章的注记2.4,注记2.5和注记2.6。定理10.（两个空间的极限关系）考虑次线性期望空间（Ω,F,E）,若空间中的一列随机变量{Xi}i=1∞对任意的φ∈Cb2（R）在次线性期望E下满足关于φ的卷积独立,且有相同的一阶矩,即E[Xi]=μ,ε[XI]=μ并且有supi∈N+E[|Xi|2]<∞。记Sn:=∑i=1nXi,εg为倒向随机微分方程（0.0.2）诱导的g-期望,则对任意的φ∈Cb（R）,有定理10意味着一般次线性期望空间（Ω,F,E）中∑i=1nXi/n的极限行为都可以通过g-期望空间（（Ω,F,εg）下布朗运动均值鲁来进行研究,则结合g-期望的有关性质,我们可以得到下列一般次线性期望空间下随机变量的大数定律。定理11.{Xi}i=1∞为满足定理10假设条件的一列随机变量,记Sn=∑i=1nXi,则对任意的φ∈Cb（R）,有定理12.{Xi}i=1∞为次线性期望空间（Ω,F,E）中的一列随机变量,对任意非负单调的φ∈Cb2（R）在次线性期望E下满足关于φ的卷积独立,且E[Xi]=μ,ε[Xi]= μ,supi∈N+E[|Xi|2]<∞。v为给定次线性期望空间（Ω,F,E）中的伴随容度,即v（A）=ε[IA],则对任意的ε>0,由于独立性条件和期望的定义不同,定理12与第一章的定理4虽然结果形式相似,但并不相互包含,其证明方法也截然不同。下列定理给出了次线性期望空间中三条大数定律等价的一个充分条件。定理13.给定次线性期望空间（Ω,F,E）,{Xi）i=1∞1（?）H为空间中一列随机变量,对任意的φ∈Cb+（R）满足E下的卷积独立,且E[Xi]=μ,ε[Xi]=μ,supi∈N+E[|Xi|2]<∞。记Sn:=∑i=1nXi,v（A）=ε[IA],A∈F。下列的三条大数定律相互等价：Ⅰ.对任意的函数φ∈Cb（R）,Ⅱ.对任意的￡>0,Ⅲ.对任意的函数φ∈Cb（R）,我们还给出了本章结果对某些一致风险度量的应用,也得到了对股票价格极限行为的一些更深的理解,请参见§2.2.5节和§2.5节。第三章本章的工作也分为两大部分,第一部分在G-期望框架下,借助G-BSDE引入了一类新的不具有次可加性的非线性期望,并给出了此期望下的一个大数定律。第二部分,运用次线性期望极限理论的思想,对数论中若干着名猜想进行了讨论和再认识,在容度意义下给出了部分支持性结论。●3.1 G-期望空间中的大数定律本章的研究是在Peng（2010）提出的G-期望框架下进行的。下列收敛性结果实际上是定理15的引理,其本身也可以看成是随机变量在次线性期望空间下的一个p阶大数定律。定理14.{Xi}i=1∞为次线性期望空间（Ω,H,E）中的一列R-值随机变量,且{Xi}i=1∞（？） LGp（Ω）,p∈N,若Xi+1d=Xi,Xi+1独立于{X1,…,Xi),i=1,2,…,且有E[X1]=-E[-X1]。记Sn:=∑i=1nXi,则当n→ o∞,定义6.考虑下列G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程（G-BSDE）,令EtG[ξ]:=YtT,ξ,特别的,当t=0时,我们有由G-BSDE诱导的非线性数学期望EG[ζ]。下边我们给出这个非线性期望下的一个大数定律。定理15.{Xi}i=1∞为（Ω,H,E）中的一列R-值随机变量,且{Xi}i=1∞（?）LG2（ΩT）。假设对任意的i=1,2,…,Xi+1d=Xi且Xi+1独立于X1,…,Xi,且有E[X1]=-E[-X1]。令Sn:=∑i=1nXi,则对任意的φ∈Cb,Lip（R）,有●3.2借助次线性期望极限理论对数论猜想的再认识定义7.Mobius函数是定义在正整数上的如下函数,即数论中Mertens函数定义为M（N）=∑n=1N μ（n）,Mertens函数在黎曼猜想的研究中有非常的重要的意义,例如在数论中有下列非常着名的黎曼猜想的等价命题：命题1.令ζ（s）表示Riemann-Zeta函数,则下列的两条猜想等价：1.对所有的ε>0,存在一个常数Cε使得|M（N）+≤CεN1/2+ε。2.（黎曼猜想）若ζ（s）=0对某些实部满足0<Re（s）<1的s成立,则Re（s）=1/2。由于Mobius函数在数论中具有特殊的随机性,参见注记3.7、注记3.8和§3.2.3节的讨论,我们将μ（n）,n=1,2,3...看作一个次线性期望空间（Ω,F,P,E）下一列IID的随机变量,（V,v）分别为概率测度族P的上下容度,则我们在次线性期望空间下对Mertens函数有如下估计：定理16.记M（N）=∑n=1Nμ（n）,则有M（N）=O（（?））q.s.v.定理17.若{bN}为一列非负的递增数列,且N1/2/bN→0,则对任给的ε>0,有limN→∞v（|M（N）|≤εbN）=1.推论3.对任意的ε>0,存在常数Cε>0,使得Mertens函数有形如命题1中的下列估计,LimN→∞v（|M（N）|≤CεN1/2+ε）=1.注记1.考虑到对任意的ε>0,存在一个常数Cε使得（?）<CεNε,结合命题1,上述三条结论表明黎曼猜想在容度v的意义下成立,即在随机意义下为黎曼猜想成立提供了支持性结论。值得一提的是次线性期望的讨论框架,比以往概率数论中对μ（n）的假设更加合理,请参见注记3.6,注记3.7和注记3.8。注记2.Good和Churchhouse（1968）提出了下列关于Mertens函数的猜想,一直没有得到证明或否定,即结合定理16,我们认为这个猜想的正确性在很大程度上值得怀疑。注记3.Odlyzko和te Riele（1985）中提出了另一个关于Mertens函数的猜想,即我们给出了这个估计在容度意义下成立的结论,即定理18。定理18.记M（N）=∑n=1Nμ（n）,则有第四章本章将一些经典的结果推广到了G-期望的框架下,研究了G-布朗运动驱动的随机微分方程（G-SDE）的均方概周期解及其平稳性质,讨论了G-SDE在容度下的渐近稳定性和G-BSDE的解关于系数的稳定性。·4.1 G-SDE的均方概周期解及其渐近稳定性定理19.考虑下列G-布朗运动驱动的随机微分方程,若系数满足§4.1.2节中假设（H1）和（H2）,且有则G-SDE（0.0.5）存在唯一的均方概周期温和解。例子1.考虑下列具备Dirichlet条件的一维G-SDE,令其中D（A）={x∈C1[0,1]|x’（r）在[0.,1]上绝对连续,x"∈L2[0,1],x（0）=x（1）=0).容易验证G-SDE（0.0.6）满足§4.1.2节中假设（H1）和（H2）,则由定理19可知其存在唯一的均方概周期温和解。定理20.若方程（0.0.5）满足定理19的条件,且有则其唯一的均方概周期温和解Xt*在均方意义下渐近稳定。·4.2 G-SDE在容度下的渐近稳定性定理21.考虑下列G-布朗运动驱动的随机微分方程若存在正定函数V（x,t） ∈C2,1（Sh×[0,∞）)使得对任意的（X,t）∈Sh×[0,∞)有则G-SDE（0.0.7）的平凡解依容度v随机稳定。定理22.若存在正定渐减函数V（x,t） ∈C2,1（Sh×[0,∞）)使得为负定的,则方程（0.0.7）的平凡解在容度V意义下随机渐近稳定。定理23.若存在正定渐减径向无界的函数V（x,t）∈C2,1（R×[0,∞）)使得为负定的,则方程（0.0.7）的平凡解在容度V意义下随机充分渐近稳定。注记4.在上述三个定理的证明中考虑下列函数可以将结果推广到下列h≠0的G-SDE,例子2.考虑G-SDE（0.0.7）,假设系数在x=0的一个小邻域中对t一致满足如下条件其中f（t）和9（t）为有界实值函数。进一步假设存在一对正值的常数H和K使得和且对G-期望E,令0≤σ≤σ=1,则我们可以定义下列函数由此容易验证函数V（x,t）满足定理22的条件,则G-SDE（0.0.7）的平凡解依容度v随机稳定,且在容度V意义下随机渐近稳定。●4.3G-BSDE的解关于参数的稳定性在本节,我们考虑下列一族依赖参数δ（d≥0）的G-BSDE,定理24.假设G-BSDE（0.0.8）的系数满足§4.2.3节中假设（A1）,（A2）和（A3）,则方程的解Kα有如下的稳定性,即当δ→0,定理25.假设G-BSDE（0.0.8）的系数满足§4.2.3节中假设（A1）,（A2）和（A4）,则方程的解（Ytδ,Ztδ,Ktδ）∈gG∝（0,T）有如下的稳定性,即当δ→0,
李宇勐[7]（2016）在《随机偏微分方程的中偏差及应用》文中研究指明在概率论中,大偏差理论主要研究罕见事件发生概率为指数型的估计.可以利用它,有效地从概率模型中提取信息.因此,大偏差理论在数理金融和风险管理中有着广泛的应用.在1970年代,Freidhin和Wentzell得到了扩散过程样本轨道的大偏差和逃逸问题的渐近估计.从此,随机（偏）微分方程的大偏差问题得到了人们广泛而深入地研究.和大偏差一样,中偏差问题也来源于统计推断的需要.中偏差是介于中心极限定理和大偏差之间的一种估计.由于中偏差的速率函数通常是二次型,便于精确计算,利用它可以更方便地研究逃逸时问题.在这篇论文中,我们研究了几类随机动力系统的Freidhin-Wentzell型中偏差问题和中心极限定理,包括正扩散过程,随机Volterra方程,彩色噪声驱动的随机热方程和分数阶随机热方程.
谢忱[8]（2016）在《带线性漂移项Ornstein-Uhlenbeck过程中轨道滤波估计量的渐近性质》文中指出Ornstein-Uhlenbeck（O-U）型过程在物理及金融领域有着较为广泛的应用,它常被用来模拟受随机干扰的动力系统的演化过程及描述控制论中的随机现象.作为Langevin方程的解,O-U过程在Coulonb气体模型中被用来刻画粒子的运动速度.同时它也可以描述利率及汇率的波动,如金融中的第一个短期利率模型-Vasicek模型,它就是带线性漂移项的O-U过程.但O-U过程趋势项中常含有一些未知参数,为了实际应用,研究和掌握该模型中参数估计量的渐近性质就显得极为重要.目前这方面研究主要包括大数定律,中心极限定理,中偏差与大偏差原理,Berry-Esseen界,重对数律及其收敛速度等.本文由五章构成:第一章,给出本文所需的预备知识,介绍O-U过程中趋势参数极大似然估计量的若干已有的研究成果,给出本文所关注的轨道滤波估计量的主要结果.第二章,利用伊藤公式及分部积分公式,给出轨道滤波估计量中二次泛函的多重Wiener-It?积分的表示.第三章,利用多重Wiener-It?积分的偏差不等式及分拆变量的方法,证明轨道滤波估计量的偏差不等式与中偏差原理.第四章,通过二次泛函的多重Wiener-It?积分的表示以及高斯过程的性质,给出轨道滤波估计量重对数律及其收敛速度的证明.第五章,对本文的主要思路和证明过程作了总结,然后分析了接下去可以展开的研究工作.
吴正[9]（2013）在《几类随机生态数学模型解的定性研究》文中研究指明在实际生态系统中,环境干扰无处不在.为了更准确地描述系统,更好地揭示生态系统的发展变化规律,在系统建模时,必须充分考虑环境干扰因素的影响,比如白噪声、有色噪声、脉冲现象等.本文着重研究几类随机生态数学模型解的定性性态.本文的主要内容有以下几个方面：1.概述了随机生态数学模型研究的相关背景、研究意义和研究现状.2.简要介绍了本论文相关的概率论、随机过程、随机微积分及随机微分方程等基础知识.3.研究了一类变系数随机比率依赖的捕食-被捕食系统.利用随机微分方程的比较原理及Ito公式,建立了该系统全局正解的存在唯一性,并在此基础上,分析该系统随机最终有界、随机持久等解的定性性态.4.研究了一类脉冲随机泛函微分方程解的指数稳定性.我们利用Razumikhin技巧及Lyapunov函数方法,建立了该方程解的p阶矩指数稳定性和几乎必然指数稳定性.根据这些结果可知,对某些随机泛函微分方程来说,尽管其解是不稳定的,但是可以通过脉冲控制手段使其达到p阶矩指数稳定和几乎必然指数稳定.5.研究了一类具Markov调制和时滞综合影响的随机Logistic生态数学模型.利用广义Ito公式、Gronwall不等式及Young不等式,讨论了该方程全局正解的存在唯一性、随机最终有界性,并研究了该系统的随机持久性、灭绝性与Markov链平稳分布之间的关系.此外,利用M矩阵、Chebyshev不等式、Borel-Cantelli引理探讨了该方程解的渐近估计.6.研究了一类具Markov调制和时滞综合影响的随机Lotka-Volterra生态数学模型.利用广义Ito公式、Gronwall不等式及Young不等式,讨论了该方程全局正解的存在唯一性、随机最终有界性、灭绝性,并利用M矩阵、Chebyshev不等式、Borel-Cantelli引理,研究了该系统解的随机持久性与解的渐近估计.
胡琳[10]（2012）在《几类带泊松跳随机微分方程数值方法的收敛性与稳定性》文中研究说明带有泊松跳的随机微分方程在金融、电子工程、生物等领域具有广泛的应用.由于绝大部分带泊松跳的随机微分方程真解的显式表达式难以获得,所以研究用数值方法求解这类方程具有重要的理论和实际意义.近几年来,关于带泊松跳的随机微分方程,国内外文献仅限于显式或半隐式方法的研究.全隐式方法比显式或半隐式的数值方法具有更好的稳定性.针对几类带泊松跳的随机微分方程,本文研究了全隐式方法的收敛性和稳定性.而且关于带泊松跳的随机微分方程,本文还讨论了1阶强收敛的Milstein方法的收敛性和稳定性.全文由七章构成.第一章综述随机微分方程及带泊松跳随机微分方程的理论分析及数值分析的研究概况.第二章介绍本文需要用到的基础知识,包括概率论、随机过程及随机微分方程等.第三章研究数值求解带泊松跳随机微分方程的平衡隐式方法的收敛性和均方稳定性.证明了强平衡隐式方法是1/2-阶均方收敛的,并证明了强平衡隐式方法和弱平衡隐式方法当步长充分小时均能保持系统的均方稳定性.第四章研究数值求解带泊松跳线性随机微分方程的平衡隐式方法的渐近稳定性.证明了在步长充分小的条件下,强平衡隐式方法和弱平衡隐式方法都可以保持系统的渐近稳定性.第五章建立了关于带泊松跳随机比例微分方程的平衡隐式方法,研究了该方法的均方收敛性与均方稳定性.证明了该方法的强收敛阶为1/2,同时还证明了,对于线性标量方程,当步长充分小时,强平衡隐式方法和弱平衡隐式方法都是均方稳定的.第六章构造了数值求解带泊松跳中立型随机延迟微分方程的一类隐式单步方法,建立了相容阶和收敛阶之间的关系,获得了一般隐式单步方法的均方收敛阶,并将此结论应用到半隐式方法——随机θ-方法和全隐式方法——平衡隐式方法,获得了这两类方法的收敛阶.第七章研究数值求解带泊松跳线性随机微分方程的Milstein方法,研究了该方法的均方稳定性和渐近稳定性.证明了强Milstein方法与弱Milstein方法在步长充分小的条件下能保持均方稳定性和渐近稳定性.数值试验进一步验证了文中所获理论的正确性.
二、多维随机微分方程解的泛函重对数律（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、多维随机微分方程解的泛函重对数律（论文提纲范文）
（1）布朗运动与布朗单增量的局部极限定理（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 课题的研究背景与意义 |
| §1.2 极限定理的发展过程和研究现状 |
| §1.3 预备知识 |
| §1.4 本文的研究内容和组织结构 |
| 第二章 布朗单增量的局部泛函重对数律 |
| §2.1 布朗单的局部泛函重对数律 |
| §2.2 布朗单增量的局部泛函重对数律 |
| 第三章 布朗运动增量的局部三重对数律 |
| §3.1 布朗运动的局部三重对数律 |
| §3.2 布朗运动增量的局部三重对数律 |
| 第四章 两参数布朗运动增量的一个推广的局部重对数律 |
| §4.1 若干引理 |
| §4.2 定理4.1 的证明 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者在攻读硕士期间的主要研究成果 |
（2）基于结构系综理论的Rayleigh-Bénard热对流相似解及传热标度律（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 认识湍流 |
| 1.1.1 湍流理论与湍流模拟 |
| 1.1.2 湍流射流以及大尺度分离结构的传热以及同伦 |
| 1.2 湍流热对流系统研究 |
| 1.2.1 Rayleigh-Bénard热对流实验与数值模拟 |
| 1.2.2 Rayleigh-Bénard热对流理论研究 |
| 1.3 结构系综框架下的湍流认识 |
| 1.3.1 结构系综理论框架 |
| 1.3.2 结构系综理论的成果 |
| 1.4 结构系综观点性下Rayleigh-Bénard热对流研究 |
| 1.5 本文章节框架介绍 |
| 第二章 直接数值模拟方法 |
| 2.1 控制方程与边界条件 |
| 2.1.1 控制方程 |
| 2.1.2 控制参数 |
| 2.2 数值计算方法与计算平台 |
| 2.2.1 数值计算方法 |
| 2.2.2 计算平台 |
| 2.3 网格与参数设置和数据统计 |
| 2.3.1 网格与参数设置 |
| 2.3.2 平均场数据库 |
| 2.4 结果展示及比较验证 |
| 2.4.1 瞬时场及统计平均场定性分析 |
| 2.4.2 Nu数、热流与边界层分布 |
| 2.4.3 方程平衡性验证 |
| 2.5 小结 |
| 第三章 大尺度结构的自相似多层结构模型 |
| 3.1 角涡的构成与特征 |
| 3.1.1 角涡的边界层及主流区特征 |
| 3.1.2 角涡的滑移面特征 |
| 3.2 角涡主流区的同伦相似解模型 |
| 3.2.1 同伦的定义 |
| 3.2.2 角涡同伦模型的边界与中心函数 |
| 3.2.3 角涡同伦模型的相似变量 |
| 3.2.4 角涡同伦模型的相似解 |
| 3.2.5 同伦模型参数的Ra数效应 |
| 3.3 角涡边界层的多层结构相似解 |
| 3.3.1 速度边界层的结构系综理论 |
| 3.3.2 角涡速度边界层的结构系综理论以及参数演化 |
| 3.3.3 与Falkner-Skan边界层的对比 |
| 3.3.4 角涡温度边界层 |
| 3.4 相似模型的验证 |
| 3.5 角涡的标度律分析 |
| 3.5.1 Re_(cr)数与温度边界层厚度λ_(θ _cr)标度律 |
| 3.5.2 运动-传热耦合标度律模型 |
| 3.6 大尺度环流的同伦模型 |
| 3.6.1 大尺度环流的同伦相似解 |
| 3.6.2 基于同伦模型的压力预测 |
| 3.6.3 同伦高阶相似解 |
| 3.7 小结 |
| 第四章 基于结构系综理论的二维局部流动自相似解 |
| 4.1 风剪切区斜射流模型 |
| 4.1.1 斜射流动力学相似性 |
| 4.1.2 斜射流传热分布及标度律 |
| 4.2 羽流发射区边界层相似解及传热标度律 |
| 4.2.1 羽流发射区温度边界层解 |
| 4.2.2 羽流发射区传热标度律模型 |
| 4.3 逆压梯度剪切区边界层相似解及传热标度律 |
| 4.3.1 大尺度环流耦合的边界层相似解 |
| 4.3.2 基于湍流普朗特数不变性的传热标度律 |
| 4.4 整体传热标度律模型 |
| 4.5 小结 |
| 第五章 基于结构系综理论的速度和温度边界层Pr数效应研究 |
| 5.1 二维和三维流场的Pr数效应 |
| 5.1.1 平均流场特性分析 |
| 5.1.2 统计量分析 |
| 5.2 流向平均速度剖面与温度剖面的Pr数效应 |
| 5.2.1 流向平均速度剖面分析 |
| 5.2.2 流向平均温度剖面分析 |
| 5.3 局部区域内速度剖面与温度剖面的Pr数效应 |
| 5.3.1 剪切区速度剖面分布 |
| 5.3.2 羽流发射区温度剖面分布 |
| 5.4 小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 主要完成工作与结论 |
| 6.2 创新点 |
| 6.3 未来工作的展望 |
| 参考文献 |
| 附录A SED应力长测量过程 |
| 附录B 大尺度分离结构参数确定程序 |
| 博士期间发表和完成的论文 |
| 致谢 |
（3）几类脉冲随机泛函微分系统的可控性与稳定性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 引言 |
| §1.1 研究背景和意义 |
| §1.1.1 有限维随机微分方程 |
| §1.1.2 无穷维随机微分系统 |
| §1.2 本文主要工作 |
| 第二章 预备知识 |
| §2.1 主要记号 |
| §2.2 随机微分方程基础知识 |
| §2.3 无穷维随机分析简介 |
| §2.4 抽象积分微分方程 |
| §2.5 抽象二阶微分方程 |
| §2.6 常用不动点定理 |
| §2.7 常用不等式 |
| 第三章 时滞依赖于状态的一阶脉冲中立型随机积分微分方程解的存在性和可控性 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 预备知识 |
| §3.3 温和解的存在性 |
| §3.4 可控性 |
| §3.5 应用举例 |
| 第四章 时滞依赖于状态的一阶脉冲中立型随机积分微分发展方程解的存在性和可控性 |
| §4.1 引言 |
| §4.2 预备知识 |
| §4.3 温和解的存在性 |
| §4.4 可控性 |
| §4.5 应用举例 |
| 第五章 时滞依赖于状态的二阶脉冲中立型随机积分微分发展方程解的存在性和可控性 |
| §5.1 引言 |
| §5.2 预备知识 |
| §5.3 温和解的存在性 |
| §5.4 可控性 |
| §5.5 应用举例 |
| 第六章 带有泊松跳的时滞依赖于状态的二阶脉冲中立型随机微分方程的渐近可控性 |
| §6.1 引言 |
| §6.2 预备知识 |
| §6.3 渐近可控性 |
| §6.4 应用举例 |
| 第七章 具Markov调制的一阶脉冲随机泛函微分系统的p阶矩指数稳定性 |
| §7.1 引言 |
| §7.2 预备知识 |
| §7.3 p阶矩指数稳定性 |
| §7.4 数值仿真举例 |
| 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间的研究成果 |
（5）非线性数学期望下的贝叶斯推断及随机微分方程（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 不确定性环境下贝叶斯后验期望的PSI计算方法 |
| 1.1 预备知识 |
| 1.1.1 次线性期望 |
| 1.1.2 贝叶斯统计原理 |
| 1.1.3 先验分布与超参数 |
| 1.1.4 MCMC方法介绍 |
| 1.2 PSI算法及理论支持 |
| 1.3 不确定性环境下后验分布的最大期望与最小期望 |
| 1.3.1 先验分布不确定的情形 |
| 1.3.2 模型选择不确定的情形 |
| 1.3.3 数据不确定的情形 |
| 1.4 本章小结 |
| 第二章 G-随机微分方程解的渐近估计 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 G-随机微分方程解的渐近估计 |
| 2.2.1 G-随机微分方程解的重对数估计 |
| 2.2.2 多维G-随机微分方程解的渐近估计 |
| 2.2.3 若干推论 |
| 2.3 本章小结 |
| 第三章 G-随机微分方程解的有界性与平稳性 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 一阶G-随机微分方程解的有界性与平稳性 |
| 3.2.1 一阶G-随机微分方程解的有界性 |
| 3.2.2 一阶G-随机微分方程解的指数平稳性 |
| 3.2.3 若干应用和例证 |
| 3.3 二阶G-随机微分方程解的有界性与平稳性 |
| 3.3.1 关于时间的二阶G-随机微分方程 |
| 3.3.2 关于二次变差过程的二阶G-随机微分方程 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 G-随机微分方程在容度意义下的渐近平稳性 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.2 G-随机微分方程在容度意义下的渐近平稳性 |
| 4.3 本章小结 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表及完成的论文 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（6）非线性期望下的极限理论及其在金融中的应用（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 Knight不确定性环境下股票价格的极限行为 |
| 1.1 预备知识 |
| 1.2 Knight不确定性环境下股票价格的大数定律 |
| 1.2.1 g-风险容度的一些引理 |
| 1.2.2 股票价格的大数定律 |
| 1.2.3 若干推论和应用 |
| 1.3 股票价格的大数定律在一般空间中的推广 |
| 1.3.1 g-期望空间 |
| 1.3.2 次线性期望空间 |
| 第二章 一般次线性期望空间与g-期望空间的极限关系 |
| 2.1 布朗运动的两个大数定律 |
| 2.1.1 一些引理 |
| 2.1.2 布朗运动在g-容度和g-期望下的大数定律 |
| 2.2 一般次线性期望空间与g-期望空间的极限关系 |
| 2.2.1 预备知识 |
| 2.2.2 两个次线性期望空间之间的大数定律 |
| 2.2.3 一般次线性期望空间中的大数定律 |
| 2.2.4 不同形式大数定律的等价关系 |
| 2.2.5 在金融风险度量中的应用 |
| 2.3 布朗运动在g-容度下的大偏差原理 |
| 2.4 布朗运动在g-容度下的中心极限定理 |
| 2.5 对股票价格极限行为的应用 |
| 第三章 G-期望空间下的极限理论及应用 |
| 3.1 G-期望空间下的大数定律 |
| 3.1.1 G-期望空间的预备知识 |
| 3.1.2 G-BSDE诱导的非线性期望下的大数定律 |
| 3.2 借助次线性期望的极限理论对若干数论猜想的再认识 |
| 3.2.1 预备知识 |
| 3.2.2 次线性期望空间下对数论中若干猜想的讨论 |
| 3.2.3 Mobius函数随机性的讨论 |
| 第四章 G-期望空间下若干平稳收敛问题 |
| 4.1 G-布朗运动驱动的随机微分方程的概周期解 |
| 4.1.1 预备知识 |
| 4.1.2 G-布朗运动驱动的随机微分方程的均方概周期解 |
| 4.1.3 均方概周期解的渐近稳定性 |
| 4.2 G-布朗运动驱动的随机微分方程的稳定性 |
| 4.2.1 预备知识 |
| 4.2.2 G-布朗运动驱动的随机微分方程在容度意义下的渐近稳定性 |
| 4.2.3 G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程的稳定性 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表及完成的论文 |
| 致谢 |
| 附件 |
（7）随机偏微分方程的中偏差及应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 主要研究内容和创新点 |
| 1.1.1 主要研究内容 |
| 1.1.2 创新点 |
| 第2章 大偏差及其应用 |
| 2.1 大偏差原理 |
| 2.1.1 大偏差的来源 |
| 2.1.2 大偏差的基本概念 |
| 2.1.3 带有小扰动的随机动力系统大偏差 |
| 2.1.4 Laplace原理和弱收敛判别准则 |
| 2.1.5 中偏差的弱收敛判别方法 |
| 2.2 大偏差在数理金融中的应用 |
| 2.2.1 通过Girsanov变换得到重要性抽样 |
| 2.2.2 通过Freidlin-Wentzell理论进行期权定价逼近 |
| 第3章 正扩散过程的中心极限定理和中偏差原理 |
| 3.1 研究背景及现状 |
| 3.2 简化成整体Lipschitz条件情形 |
| 3.3 中心极限定理 |
| 3.4 中偏差原理 |
| 第4章 Volterra方程的中偏差原理 |
| 4.1 研究背景及现状 |
| 4.2 大偏差原理 |
| 4.3 中偏差原理 |
| 4.3.1 骨架方程 |
| 4.3.2 中偏差原理 |
| 4.4 分数布朗运动驱动的随机微分方程 |
| 第5章 空间相关噪声驱动的随机热方程的中偏差 |
| 5.1 研究背景及现状 |
| 5.2 主要结果 |
| 5.3 解的收敛性 |
| 5.4 主要定理的证明 |
| 5.4.1 定理5.2的证明 |
| 5.4.2 定理5.3的证明 |
| 5.5 附录 |
| 第6章 空间相关噪声驱动的分数阶随机热方程的中偏差 |
| 6.1 研究背景及现状 |
| 6.2 背景知识 |
| 6.2.1 算子 |
| 6.2.2 噪声F |
| 6.2.3 存在唯一性和Holder正则性 |
| 6.3 骨架方程 |
| 6.4 中偏差原理 |
| 6.4.1 大偏差原理 |
| 6.4.2 主要定理 |
| 6.4.3 定理6.3的证明 |
| 6.5 附录 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（8）带线性漂移项Ornstein-Uhlenbeck过程中轨道滤波估计量的渐近性质（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 注释表 |
| 缩略词 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 预备知识 |
| 1.2 O-U过程极大似然估计量的极限性质 |
| 1.2.1 不带漂移项的O-U过程 |
| 1.2.2 带漂移项的O-U过程 |
| 1.3 轨道滤波估计量及本文主要结果 |
| 第二章 多重Wiener-It?积分表示 |
| 2.1 多重Wiener-It?积分概念 |
| 2.2 主要引理 |
| 第三章 偏差不等式及中偏差原理 |
| 3.1 偏差不等式 |
| 3.2 中偏差原理 |
| 第四章 重对数律及其收敛速度 |
| 4.1 重对数律 |
| 4.2 精确收敛性 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在学习期间的研究成果及发表的学术论文 |
（9）几类随机生态数学模型解的定性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 引言 |
| §1.1 研究背景和意义 |
| §1.2 研究现状 |
| §1.3 本文主要工作 |
| 第二章 预备知识 |
| §2.1 本文记号 |
| §2.2 随机微分方程基础知识及常用不等式 |
| 第三章 随机捕食-被捕食系统的动力行为 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 全局正解存在唯一性 |
| §3.3 渐近有界性 |
| §3.4 随机持久性 |
| 第四章 脉冲随机泛函微分方程的指数稳定性 |
| §4.1 引言 |
| §4.2 预备知识 |
| §4.3 主要结果 |
| §4.4 例子 |
| 第五章 Markov调制随机时滞Logistic生态数学模型的动力行为 |
| §5.1 引言 |
| §5.2 全局正解存在唯一性 |
| §5.3 渐近有界性 |
| §5.4 灭绝性 |
| §5.5 长期渐近性 |
| §5.6 例子 |
| 第六章 Markov调制随机时滞Lotka-Volterra生态数学模型的动力行为 |
| §6.1 引言 |
| §6.2 全局正解存在唯一性 |
| §6.3 随机最终有界性 |
| §6.4 灭绝性 |
| §6.5 随机持久性 |
| §6.6 长期渐近性 |
| §6.7 例子 |
| 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间的研究成果 |
（10）几类带泊松跳随机微分方程数值方法的收敛性与稳定性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 随机泛函微分方程的研究概况 |
| 1.2.1 解析理论的研究 |
| 1.2.2 数值方法的研究 |
| 1.3 带泊松跳随机微分方程的研究概况 |
| 1.3.1 解析理论的研究 |
| 1.3.2 数值方法的研究 |
| 1.4 本文主要研究内容 |
| 第二章 基础知识 |
| 2.1 概率论的基本概念 |
| 2.2 随机过程的基本概念 |
| 2.3 随机微分方程的基本概念 |
| 2.4 主要公式与性质 |
| 2.5 符号说明 |
| 第三章 带泊松跳随机微分方程平衡隐式方法的均方收敛性和均方稳定性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 解析解的性质 |
| 3.3 强平衡隐式方法的均方收敛性 |
| 3.3.1 数值格式 |
| 3.3.2 均方收敛性 |
| 3.4 平衡隐式方法的均方稳定性 |
| 3.4.1 解析解的均方稳定性 |
| 3.4.2 强平衡隐式方法的均方稳定性 |
| 3.4.3 弱平衡隐式方法的均方稳定性 |
| 3.5 数值试验 |
| 第四章 带泊松跳随机微分方程平衡隐式方法的渐近稳定性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 解析解的渐近稳定性 |
| 4.3 平衡隐式方法的渐近稳定性 |
| 4.3.1 强平衡隐式方法的渐近稳定性 |
| 4.3.2 弱平衡隐式方法的渐近稳定性 |
| 4.4 数值试验 |
| 第五章 带泊松跳随机比例延迟微分方程平衡隐式方法的数值分析 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 解析解的存在唯一性 |
| 5.3 平衡隐式方法的均方收敛性 |
| 5.3.1 数值格式 |
| 5.3.2 平衡隐式方法的收敛性 |
| 5.4 平衡隐式方法的均方稳定性 |
| 5.4.1 解析解的均方稳定性 |
| 5.4.2 强平衡隐式方法的均方稳定性 |
| 5.4.3 弱平衡隐式方法的均方稳定性 |
| 5.5 数值试验 |
| 第六章 带泊松跳中立型随机延迟微分方程隐式单步方法的均方收敛性 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 解析解的性质 |
| 6.3 隐式单步方法的收敛性 |
| 6.3.1 数值格式 |
| 6.3.2 数值方法的收敛性 |
| 6.4 算法举例 |
| 6.4.1 随机θ-方法的收敛性 |
| 6.4.2 平衡隐式方法的收敛性 |
| 6.5 数值试验 |
| 第七章 带泊松跳随机微分方程Milstein方法的稳定性 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 Mistein方法的均方稳定性 |
| 7.2.1 解析解的均方稳定性 |
| 7.2.2 强Mistein方法的均方稳定性 |
| 7.2.3 弱Mistein方法的均方稳定性 |
| 7.3. Mistein方法的渐近稳定性 |
| 7.3.1 解析解的渐近稳定性 |
| 7.3.2 强Milstein方法的渐近稳定性 |
| 7.3.3 弱Mistein方法的渐近稳定性 |
| 7.4 数值试验 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间主要研究成果 |
四、多维随机微分方程解的泛函重对数律（论文参考文献）
- [1]布朗运动与布朗单增量的局部极限定理[D]. 张晴晴. 桂林电子科技大学, 2021(02)
- [2]基于结构系综理论的Rayleigh-Bénard热对流相似解及传热标度律[D]. 周文丰. 北京大学, 2020
- [3]几类脉冲随机泛函微分系统的可控性与稳定性[D]. 黄浩. 安徽大学, 2018(09)
- [4]非线性期望的理论、方法及意义[J]. 彭实戈. 中国科学:数学, 2017(10)
- [5]非线性数学期望下的贝叶斯推断及随机微分方程[D]. 魏玮. 山东大学, 2017(12)
- [6]非线性期望下的极限理论及其在金融中的应用[D]. 张淼. 山东大学, 2016(09)
- [7]随机偏微分方程的中偏差及应用[D]. 李宇勐. 中国科学技术大学, 2016(09)
- [8]带线性漂移项Ornstein-Uhlenbeck过程中轨道滤波估计量的渐近性质[D]. 谢忱. 南京航空航天大学, 2016(03)
- [9]几类随机生态数学模型解的定性研究[D]. 吴正. 安徽大学, 2013(10)
- [10]几类带泊松跳随机微分方程数值方法的收敛性与稳定性[D]. 胡琳. 中南大学, 2012(12)