一、一个可积性定理的推广与应用（论文文献综述）
刘倩[1]（2021）在《两类非线性微分方程的解及可积性分析》文中研究表明本文对主要适用于二阶微分方程的首次积分方法进行推广,并结合Lie群理论和三阶方程线性化等方法对两类三阶非线性微分方程进行可积性分析及求解。首先,将文献中的首次积分方法进行推广,首次将该方法推广使其用于三阶微分方程。其次,对于一类三阶非线性微分方程,运用推广的首次积分方法求出该方程两个独立的首次积分,并对方程进行降阶;运用函数变换法得到了该方程的两个精确解;借助Lie群理论得到该方程接受的Lie群的无穷小生成元,不变解及两个精确解;证明了该微分方程不可以线性化。然后,对于又一类三阶非线性微分方程,运用Lie群理论求出该方程所接受的Lie群的无穷小生成元,并得到其不变解;证明了该方程是否可以线性化的结论。最后,考虑了文中相关理论和方法在一类Kuramoto-Sivashinsky型方程求解上的应用。
丁海峰[2]（2021）在《引力理论中的守恒荷及其在黑洞物理中的应用》文中指出在本论文中我们主要研究引力理论中守恒荷的相空间方法（包括协变相空间方法和解相空间方法）的应用,以及将离壳ADT守恒荷方法推广到包含物质场和非Riemann几何的情形。在相空间方法的应用中,我们利用Sorce和Wald新版本的思想实验研究了Einstein-Maxwell-Dilaton-Axion（EMDA）黑洞的弱宇宙监督猜想。我们的结果表明,当考虑二阶微扰修正时弱宇宙监督猜想仍然有效。在相空间方法的另一个应用中,我们利用解相空间方法给出Einstein-aether理论中黑洞熵的确切表达式以及Killing视界和普适视界处严格的黑洞热力学第一定律。对于离壳ADT方法,我们将它推广到包含内部规范变换的情况,使之能够真正用于计算物质场存在时的守恒荷。为实现这个目的,我们借用了解相空间方法中“恰当对称性”的概念。同时,我们将证明推广的离壳ADT方法完全与相空间方法和BBC方法等价。在进一步的离壳ADT方法推广中,我们将离壳ADT方法推广到非Riemann几何（包含挠率和非度量张量）,并且我们对守恒量的构造完全采用一般的张量形式。推广的离壳ADT方法将为引力理论中准局域守恒荷的计算提供一条系统完善的有效路径。
袁翠连[3]（2021）在《几类自对偶网络方程的可积性及解析研究》文中指出近年来许多学者的研究逐渐从连续可积系统转变为离散可积系统,非线性微分差分方程作为非线性偏微分方程的空间离散形式,可以被用来描述许多特定的物理现象,非线性自对偶网络方程是描述电子电路中电信号传输的重要离散模型,因此研究与非线性自对偶网络方程相关的可积性质和解析解对解释电路中电信号的传输具有重要的理论意义。本文以2×2矩阵谱问题意义下的Lax可积为主线,通过零曲率方程方法研究了几类与非线性自对偶网络方程相关的离散方程的的可积性质和精确解析解及其动力学行为。具体的研究内容主要包括以下两个方面:（1）研究4类非线性自对偶网络方程的可积性质和解析解以及相关的调制不稳定性,首先基于已知的线性谱问题的空间部分,利用零曲率方程方法研究了与它们相关的方程族梯队,Lax对和无穷守恒律等可积性质,然后基于获得的新Lax对,构造出4类方程的离散N-波达布变换和广义（m,N-m）-波达布变换,得到了孤子、有理孤子和半有理孤子以及不同类型孤子的混合作用结构,通过对解的表达式进行渐近分析讨论了孤子碰撞前后的渐近状态表达式,分析了有理孤子解的数学特征,借助计算机符号软件Maple作图分析研究了孤子的结构和作用现象,并借助Matlab进行数值模拟讨论了孤子解的动力学演化和传播稳定性;（2）研究了与非线性自对偶网络方程相关的Toda类型的晶格方程即修正指数Toda晶格方程的可积性和解析解以及动力学行为,首先基于已知的线性谱问题的空间部分,利用屠格式方法给出了相关的方程族梯队,Hamiltonian结构、Liouville可积以及无穷守恒律等可积性质,然后基于获得的新的Lax对,构造出修正指数Toda晶格方程的离散广义（m,N-m）-波达布变换,得到了孤子解、有理解和半有理解以及混合作用解等不同类型的解析解,通过渐近分析研究了这些解的渐近状态表达式,讨论了有理解的数学特征,并借助计算机软件Maple和Matlab通过图像分析和数值模拟讨论了孤子解的弹性作用现象和传播稳定性,特别是发现了该离散方程在倾斜平面背景上的扭型多孤子解及弹性作用现象。
韩鹏飞[4]（2021）在《贝尔多项式与非线性发展方程的可积性与相关问题研究》文中研究指明本文基于Hirota双线性方法与Bell多项式理论,借助计算机代数系统,对于几种高维非线性发展方程的可积性、B（?）cklund变换和守恒律等问题进行研究获得了新的成果.通过Hirota双线性方法与同宿检验方法,构造不同种类的新精确解,并分析其传播衍变特性,利用图像分析其解的运动轨迹与物理意义.同时还利用Bell多项式理论,研究了高维非线性发展方程的可积性、B（?）cklund变换和无穷守恒律等问题,给出了不同函数叠加而成的解的定理和推论及其证明.研究不同函数叠加解有助于理解非线性学科中的一些重要的物理现象.第一章介绍孤立子理论的研究背景、研究意义和研究方法,如Hirota双线性方法、Bell多项式等概念及其发展历史.第二章基于Hirota双线性方法,首先将（3+1）维广义KdV-type方程化为双线性形式,进而构造了该方程的N-孤子解、Lump解、Lump扭结解、Lump孤子解、双扭结波解、呼吸解和多波解.然后,构造了（3+1）维非线性发展方程的双线性形式和B（?）cklund变换,并获得了高阶Lump解、高阶Lump孤子N-M型叠加解和周期型叠加解.最后,利用图像分析法,分析了两种方程解的相互作用.第三章中研究了（4+1）维KdV-like方程的可积性等问题.首先利用Bell多项式方法,构造了（4+1）维KdV-like方程的双线性B（?）cklund变换、Lax对、无穷守恒律,进而证明了该方程在Lax意义下的可积性.然后,基于Hirota双线性方法和同宿测试方法,构造了几种新的精确解,包括高阶Lump解、高阶Lump扭结型N孤子解、高阶Lump-cosh-N-cos-M型叠加解和周期型叠加解.另外,研究了构造（4+1）维BLMP方程新精确解问题.首先给出了构造（4+1）维BLMP方程新精确解的一种定理及其证明.然后,通过定理构造了该方程的不同类型的解,得到Lump扭结波解和Lump孤立波解.最后,借助该方程的双线性形式,获得周期型叠加解与复合型叠加解,并通过选取不同的参数,分析了这些解的动力学行为.第四章中研究了三种高维变系数发展方程的求解与解的相互作用问题.首先利用含非零种子解的Cole-Hopf变换和试探函数法相结合的方法,构造了（3+1）维变系数DJKM方程的呼吸扭结波解、怪波解和三孤立波解.然后,基于Hirota双线性方法和同宿测试方法,给出了构造（3+1）维变系数BLMP方程和（2+1）维变系数BLMP-BK方程新精确解的定理、推论及其证明.另外,利用定理获得了（3+1）维变系数BLMP方程和（2+1）维变系数BLMP-BK方程不同函数叠加的新解.最后,利用解中任意函数的任意性,选取不同的函数,通过三维图和等高线图分析了这些解的动力学行为.总结与展望中对本文进行了简单的总结,并且规划了将来值得深入思考和研究的内容。
易玉连[5]（2020）在《几类非线性随机微分方程的数值方法研究》文中提出自然界中随机现象无处不在,用确定性微分方程来刻画此类现象已达不到人们对建模的精度要求了。随机微分方程能很好地模拟各种随机问题,现已在遗传学、金融学、化学工程、航天控制等领域得到了广泛应用。但通常很难获得随机微分方程精确解的显式表达式,因此研究随机模型的数值方法具有重要意义。本文主要探讨了求解几类非线性随机微分方程数值格式的收敛性、稳定性和保正性等性质。主要包含了如下几个方面的工作。针对高度非线性随机常微分方程,我们构造了两类显式两步随机方法,即投影两步Euler方法和投影两步Milstein方法。在全局单调性条件下,基于方法的稳定性和相容性,证明了方法的均方收敛性,并获得了投影两步Euler方法和投影两步Milstein方法的均方收敛阶分别为1/2和1.特别地,全局单调性条件允许漂移系数和扩散系数超线性增长,因此所得的均方收敛性结论适用于漂移和扩散系数都是非线性的随机常微分方程。构造了求解Markov调制的随机微分方程的两类显式投影Euler方法。在单调性条件和多项式增长条件下,基于数值方法的局部性质分析了方法的收敛性。此外,还将这两类格式应用于带小噪声的高度非线性随机常微分方程和高度非线性Markov调制的随机微分方程,并通过分析数值格式的稳定性和局部截断误差,获得了这两类方法的均方收敛性和收敛速度。研究了高度非线性中立型随机延迟积分微分方程的分裂步theta方法的渐近有界性、稳定性和强收敛性。在广义强制性条件下,证明了当θ ∈[1/2,1]时,分裂步theta方法所获得的数值解强收敛于方程的精确解。此外,还证明了若θ∈(1/2,1]时,该方法可以无条件保持原方程精确解的均方渐近有界性和均方指数稳定性,并且当步长足够小时,还可以保持精确解的均方渐近界和指数衰减率。针对一类具有正解的随机常微分方程,基于对数变换构造了显式保正数值方法,并获得了这些方法的几乎必然收敛性、Lq收敛性以及相应的收敛速度。对数变换后得到的新方程的系数可能呈指数增长,所以本文还在随机常微分方程的系数呈指数增长的条件下,证明了显式截断Euler方法的强收敛性。
郭秀荣[6]（2020）在《非线性偏微分方程的可积耦合、Hamilton结构、Darboux变换和精确解》文中提出本文研究了非线性数学物理中的几类非线性微分方程的可积耦合、Hamilton结构、Darboux变换和精确解。主要开展了四个方面的研究工作:离散晶格系统的Hamilton结构和守恒律;基于Bell多项式的非线性偏微分方程的可积性质;可积耦合及其约化;（2+1）-维可积系统的Darboux变换和精确解。第一章,主要介绍了与本文相关的R-矩阵理论、非线性偏微分方程的精确求解和可积系统理论的研究背景及发展现状,并阐明了本文的主要工作。第二章,基于位移算子和R-矩阵理论,研究了离散晶格系统的Hamilton结构和守恒律问题。利用Lie代数中的三个位移算子,生成几个具有5-晶格向量场的离散可积系统,通过诱导李泊松括号的泊松张量,得到该系统的Hamilton结构。这些可积系统可以约化为带约束的Toda格系统。其次,利用离散可积系统的Lax表示,发现了递归算子,它可以用来推导相应的离散可积系统的Darboux变换,从而得到精确解。最后,利用本文给出的位移算子的约化,推导出一个新的离散晶格系统。此外,我们将约化的位移算子推广到一个具有三个晶格向量场的扩展系统,得到了它们的Lax对、无穷守恒律。同时我们特别给出了生成Hamilton结构的一种简单而有效的方法,这是一种采用Casimir函数梯度的展开式,而非Casimir函数本身方法生成Hamilton结构的方法。第三章,将Bell多项式推广应用到一个变系数的演化方程和一个广义KdV方程。第一部分,首先将一类具有松弛效应作用的非均匀介质KdV方程推广到更一般形式的具有变系数的可积方程,并用Bell多项式进一步研究该方程的双线性表示、B?ckluand变换、Lax对和无穷守恒律。第二部分,利用Bell多项式讨论了广义KdV方程的可积性质,包括双线性形式、Lax对、B?ckluand变换和无穷守恒律等。第四章,从谱问题出发,基于屠格式、零曲率方程和Lie代数理论研究可积耦合及其约化问题。第一部分,从Geng-Cao提出的谱问题出发,利用屠格式和零曲率方程寻求一个可积方程族（称为GC族）,并且寻求其Hamilton结构。然后构造一个6维Lie代数,得到了GC族的一个非线性可积模型,约化该扩展可积模型为Burgers方程并进一步约化为热方程,再由变分恒等式求出该扩展可积模型的Hamilton结构。另外我们构造了另一个6维Lie代数,利用屠格式得到了第二个扩展可积模型,再利用迹恒等式得到了其Hamilton结构。并通过比较指出,所得到的两类GC方程族的扩展可积模型是不一样的。第二部分,首先引入了一个Lie代数,然后定义了其相应的两个Loop代数,利用Loop代数构造了两个等谱问题,利用其相容性条件导出了两个可积动力系统。通过约化这样的系统,得到了某些有趣的非线性方程,如Burgers方程、组合KdV-mKdV方程和Kuramoto-Sivashinsky方程以及KdV方程的一种推广形式。第三部分,基于屠和孟在矩阵Lie代数的框架下建立的AKNS族、D-AKNS族、Levi族和TD族的统一可积模型的思想,引入了两个分块矩阵Lie代数,提出一个等谱问题,其相容性条件产生了一类可约化为Levi族和AKNS族等的统一可积族。第五章,主要研究（2+1）-维可积族的约化、Darboux变换和精确解。我们从一个算子换位子引入一个等谱问题,由此利用屠格式[77]约化一个（2+1）-维Shallow water wave（SWW）族和（2+1）-维Kaup–Newell（KN）族,约化出了一个（2+1）-维SWW方程和一个（2+1）-维KN方程。而且,我们研究了（2+1）-维SWW方程的两个Darboux变换。另外,与我们所熟知的KP方程、mKP方程、DS方程等所有含有变量x的反演算子的方程不同,我们这里所得到的（2+1）-维SWW方程和（2+1）-维KN方程都是变量x和y的微分。作为比较,我们利用自对偶Yang–Mills方程的一个约化的谱问题和SWW族的一个空间谱问题,推导出了一个（2+1）-维的热方程和一个含有变量x和y的反演算子的（2+1）-维非线性演化SWW族,而且研究了它们的Darboux变换。该论文有参考文献177篇。
刘娜[7]（2020）在《非线性偏微分方程的可积性和非线性波的研究》文中提出本文研究了在流体力学、凝聚态物理、等离子体物理和非线性光学中有重要应用的几类非线性偏微分方程的可积性、非线性波及其相互作用解.主要开展了四方面的工作:利用经典李群方法研究了变系数非线性偏微分方程的精确解和守恒律;应用Bell多项式研究了高维非线性偏微分方程的双线性形式以及利用长波极限方法构造其非线性波;基于方程的双线性形式和三波法构造了非线性偏微分方程的多孤子解;通过Hirota双线性方法和函数拟设法构造了非线性偏微分方程的lump解及相互作用解.具体内容如下:第一章是绪论部分.详细介绍了对称理论、可积性理论和非线性波的研究背景,发展现状及相关理论,并简要叙述了本文的主要研究内容.第二章,基于经典李群方法,研究了两类变系数非线性偏微分方程.首先,通过引入合适的势变换,将（2+1）-维变系数非线性薛定谔（NLS）方程转化为变系数的耦合系统,并通过经典李对称分析得到相应的向量场和最优系统.利用相似约化,得到了四组（1+1）-维非线性偏微分方程组,并结合辅助方程方法和G’/G-展开法给出了精确解.同时,借助Ibragimov提出的新守恒定理构造了守恒律.其次,得到了（1+1）-维变系数Ablowitz-Kaup-Newell-Segur（AKNS）方程的李点对称和最优系统.利用相似约化得到了五组常微分方程组,通过辅助方程方法得到了幂级数解,行波解和非行波解.第三章,通过双Bell多项式方法和Hirota双线性方法,研究了（3+1）-维B-type Kadomtsev-Petviashvili（BKP）方程的双线性形式、非线性波和相互作用解.借助Bell多项式理论得到了 BKP方程的Hirota双线性方程,通过引入变换的技巧,构造了两种类型的双线性Backlund变换和对应的Lax对.运用所得到的双线性方程,构造了 BKP方程的N-孤子解.将长波极限法作用于N-孤子解,得到了 BKP方程的呼吸子、lump波、怪波以及这些非线性波之间的相互作用解.第四章,基于Hirota双线性方法、同宿测试方法和三波法,研究了（3+1）-维非线性发展（NEE）方程和（3+1）-维BKP方程的多孤子解.通过Hirota双线性方法和同宿测试方法,构造了 NEE方程的两种类型的扭结呼吸孤子解.利用三波法得到了NEE方程和BKP方程的多孤子解,包括扭结呼吸2-孤子解,扭结周期2-孤子解,双周期孤立波解和3-孤子解第五章,基于Hirota双线性方法和函数拟设法,研究了（3+1）-维KdV-型方程和KP-Boussinesq-like方程的呼吸子解,怪波解,lump解和相互作用解.结合Hirota双线性方法和同宿测试方法,构造了 KdV-型方程的同宿呼吸波解,对得到的呼吸波解运用长波极限方法,得到了方程的怪波解.利用函数拟设法,得到了KdV-型方程的相互作用解,包括lump波与线孤子,扭结孤子和周期函数之间的相互作用解.同时,得到了KP-Boussinesq-like方程的lump解,lump与线孤子、扭结孤子之间的相互作用解.第六章,概述了本文的主要工作,并对将来的研究工作进行了展望.
闫硕[8]（2020）在《A-调和方程弱解的正则性研究》文中研究表明A-调和方程作为偏微分方程中非常重要的一类,被广泛应用在各种物理场景中。近些年,对A-调和方程弱解的研究大多集中在局部正则性,对全局正则性的研究较少。文章主要研究A-调和方程弱解的全局正则性,具体内容如下:第1章首先介绍问题背景及研究意义,其次对A-调和方程及其弱解（很弱解）的研究现状进行说明,最后介绍文章的整体结构及主要工作。第2章介绍A-调和方程弱解的正则性及相关研究。阐述A-调和方程弱解（很弱解）的正则性,如可积性、连续性及奇点可去性等方面的研究进展。第3章研究齐次A-调和方程div A（x,?u）（28）0的边值问题。在控制增长条件下,利用Hodge分解和Sobolev空间分析方法,得到很弱解的全局正则性。第4章研究非齐次A-调和方程div A（x,?u）（28）f（x）的边值问题。在控制增长条件下,利用Sobolev空间分析方法和Hodge分解,再借助Gehring引理,得到很弱解的全局正则性。第5章研究非齐次A-调和方程div A（x,?u）（28）B（x,?u）的边值问题,右端的非齐次项满足控制增长条件。通过Hodge分解构造新的检验函数,再利用H?lder不等式、Young不等式等估计方法,证明非齐次A-调和方程很弱解的全局正则性。图0幅;表0个;参56篇。
郭永新,刘世兴[9]（2019）在《关于分析力学的基础与展望》文中进行了进一步梳理本文从分析约束力学系统的"欠定"问题开始,介绍分析力学的基本变分原理和三类运动微分方程,并分析了分析力学具有普适性之缘由.对非完整约束力学系统,着重分析其动力学建模问题、几何结构和重点发展方向,同时又简要介绍了Birkhoff系统所具有的一般辛结构特征和研究意义,以及需要重点解决的问题.文中对力学系统的Noether对称性和运动微分方程的对称性作了较为详细的论述,并列举了相应实例说明两种对称性与守恒量之间的关系.在几何力学部分,重点介绍了分析力学的辛几何结构和对称性约化理论,包括辛流形的Darboux-Moser-Weinstein局部正则结构、整体拓扑结构及其对量子力学的影响、Lie群与Lie代数的伴随表示和余伴随表示、动量映射、Cartan辛约化、Marsden-Weinstein约化等.文中最后论述了完整与非完整力学系统可积性问题的研究方法和成果,指出了非完整力学系统现有可积性方法的局限性.
杨超[10]（2020）在《椭圆方程障碍问题解的性质》文中研究表明椭圆方程是偏微分方程的一个重要分支,它不仅与数学、物理工程（气象学）联系紧密,而且在生物学、医学（超声图像）等方面也有着广泛的应用.在椭圆方程的理论研究中,方程解的存在性、唯一性、稳定性和正则性等是人们研究的热点.本文主要研究椭圆方程障碍问题在欧氏空间和微分流形空间中弱解和很弱解的正则性以及比较原理.第一章绪论阐述了椭圆方程的应用背景以及近些年来的研究成果.从各向同性椭圆方程单边障碍问题的很弱解到各向同性椭圆方程双边障碍问题的很弱解,从各向异性椭圆方程边值问题的弱解到各向异性椭圆方程单边障碍问题的弱解,人们取得了很多成果.本文在已有结果的基础上,提出了待解决的问题并给出了研究方法.第二章主要研究了一类拟线性椭圆方程-div A（x,?u）=B（x,u,?u）的双边障碍问题弱解的局部正则性.通过构建适合各向异性双边障碍问题的检验函数,使用各向异性的逆H?lder不等式和Sobolev不等式,得到了各向异性的非齐次拟线性椭圆方程双边障碍问题弱解的局部正则性.第三章主要研究了齐次椭圆方程-div（A（x,u）Du）=0的单边障碍问题弱解的性质,其中A（x,u）是不连续的VMO系数.通过使用A-调和逼近方法和含有障碍函数的Caccipoli不等式,最后得到在A（x,u）为不连续系数时,各向同性齐次椭圆方程弱解的积分估计式.第四章主要研究了非齐次椭圆方程-div A（x,?u）=f（x,u）的很弱解的比较原理.通过使用Mc Shane扩张引理构造Lipschitz连续检验函数,应用Sobolev嵌入定理,H?lder和Young不等式,得到各向同性椭圆方程很弱解的比较原理.第五章主要研究了微分形式椭圆方程d*A（x,dω（x））=B（x,ω（x）,dω（x））单边障碍问题很弱解的局部正则性,采用了微分形式下Hodge分解的方法,结合障碍问题的障碍函数构造适当的检验函数,使用逆H?lder不等式,得到了关于微分形式下椭圆方程单边障碍问题很弱解的局部正则性.
二、一个可积性定理的推广与应用（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、一个可积性定理的推广与应用（论文提纲范文）
（1）两类非线性微分方程的解及可积性分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究现状及意义 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 整除定理 |
| 2.2 首次积分方法 |
| 2.3 Lie群理论 |
| 2.4 三阶方程线性化 |
| 第3章 首次积分方法的推广 |
| 3.1 推广的首次积分方法 |
| 3.1.1 考虑三阶方程x'"=g_0(x,x')+g_1(x,x')x" |
| 3.1.2 考虑三阶方程x'"=ax"+bx'+f(x) |
| 3.2 本章结论 |
| 第4章 三阶微分方程x'"=x'x"+x'~3的可积性与求解 |
| 4.1 首次积分 |
| 4.2 函数变换法求解 |
| 4.3 Lie群理论的应用 |
| 4.4 线性化 |
| 4.5 本章结论 |
| 第5章 三阶微分方程x'"=g(x)x"+bx'+f(x)的可积性分析 |
| 5.1 g(x)=a的情况 |
| 5.1.1 Lie群理论的应用 |
| 5.1.2 线性化 |
| 5.2 g(x)=ax的Lie群理论的应用 |
| 5.3 本章结论 |
| 第6章 应用 |
| 6.1 Kuramoto-Sivashinsky方程 |
| 6.2 首次积分 |
| 6.3 Lie群理论的应用 |
| 6.3.2 1/3A_0~2+A_1=0 |
| 0'>6.3.3 1/3A_0~2+A_1>0 |
| 6.4 本章结论 |
| 第7章 结论与展望 |
| 7.1 论文结论 |
| 7.2 论文展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
（2）引力理论中的守恒荷及其在黑洞物理中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 惯例与符号 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 引力理论中守恒荷的研究概述 |
| 1.2 黑洞热力学定律 |
| 1.3 研究动机及研究内容 |
| 第2章 协变相空间方法和解相空间方法 |
| 2.1 相空间 |
| 2.2 协变相空间方法 |
| 2.3 解相空间方法 |
| 2.4 黑洞熵与热力学第一定律 |
| 第3章 EMDA黑洞的弱宇宙监督猜想 |
| 3.1 Wald形式和变分恒等式 |
| 3.2 Einstein-Maxwell-Dilaton-Axion理论和黑洞解 |
| 3.3 思想实验的微扰不等式 |
| 3.4 近极端EMDA黑洞不能被过荷或过转 |
| 3.5 本章小结及评论 |
| 第4章 Einstein-aether理论中的黑洞熵和热力学第一定律 |
| 4.1 Einstein-aether-Maxwell理论 |
| 4.2 Einstein-aether黑洞的守恒荷与热力学第一定律 |
| 4.2.1 3-维静态荷电准-BTZ黑洞 |
| 4.2.2 c_(14)= 0,c_(123)≠ 0的4-维静态荷电Einstein-aether黑洞 |
| 4.2.3 c_(14)= 0,c_(123)≠ 0的4-维静态荷电Einstein-aether黑洞 |
| 4.2.4 (2+1)-维旋转渐近Ad S黑洞 |
| 4.3 本章小结 |
| 第5章 含内部规范变换的离壳ADT方法 |
| 5.1 推广的离壳ADT守恒流和势 |
| 5.1.1 形式 |
| 5.1.2 离壳 ADT势与离壳 Noether势的对应性 |
| 5.2 Einstein-Maxwell-Scalar-Chern-Simons理论 |
| 5.3 规范超引力中G?del黑洞的守恒荷 |
| 5.4 本章小结 |
| 第6章 Palatini理论中的离壳ADT守恒量 |
| 6.1 Palatini理论 |
| 6.2 Palatini理论中的离壳ADT流和势 |
| 6.2.1 离壳流 |
| 6.2.2 离壳势 |
| 6.3 典型引力模型中的离壳ADT势 |
| 6.3.1 Palatini Einstein-Hilbert理论 |
| 6.3.2 一般的L(g_(μv),R~λ_(vαμ),T~λ_(αβ),Q_(αμv))理论 |
| 6.3.3 平行Palatini理论 |
| 6.4 本章小结 |
| 第7章 总结与展望 |
| 附录 A 常用变分恒等式和微分形式 |
| A.1 常用变分恒等式 |
| A.2 微分形式 |
| 附录 B 引力理论中的对称性 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的学术论文 |
| 致谢 |
（3）几类自对偶网络方程的可积性及解析研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 引言 |
| 1.1 孤子与离散可积系统 |
| 1.2 离散的非线性自对偶网络方程及研究进展 |
| 1.3 离散可积系统的解析方法 |
| 1.4 研究背景及安排 |
| 1.4.1 立论背景 |
| 1.4.2 本文研究的几类非线性自对偶网络方程 |
| 1.4.3 内容安排 |
| 第2章 与非线性自对偶网络方程有关的方程可积性 |
| 2.1 非线性自对偶网络方程的可积性质研究 |
| 2.1.1 方程族 |
| 2.1.2 无穷守恒律 |
| 2.2 逆空间非局域非线性自对偶网络方程的可积性 |
| 2.2.1 方程族 |
| 2.2.2 无穷守恒律 |
| 2.3 逆时间非局域非线性自对偶网络方程的可积性 |
| 2.3.1 方程族 |
| 2.3.2 无穷守恒律 |
| 2.4 逆空时非局域非线性自对偶网络方程的可积性 |
| 2.4.1 方程族 |
| 2.4.2 无穷守恒律 |
| 2.5 本章总结 |
| 第3章 高阶非线性自对偶网络方程的解析解及动力学分析 |
| 3.1 调制不稳定 |
| 3.2 离散广义(m,N-m)-波达布变换 |
| 3.2.1 N-孤子解和渐近分析及其动力学分析——应用N-波达布变换 |
| 3.2.2 有理孤子解及其动力学分析——应用离散广义(1,N-1)-波达布变换 |
| 3.2.3 相互作用解及其动力学分析——应用离散广义(2,N-2)-波达布变换 |
| 3.3 本章小结 |
| 第4章 逆空间非局域自对偶网络方程的解析解及动力学分析 |
| 4.1 离散广义(n,N-m)-波达布变换 |
| 4.1.1 多孤子解及其动力学分析——应用离散非局域的N-波达布变换 |
| 4.1.2 有理解——应用离散非局域的广义(1,N-1)-波达布变换 |
| 4.2 本章小结 |
| 第5章 逆时间非局域自对偶网络方程的解析解及动力学分析 |
| 5.1 N-波达布变换 |
| 5.2 非局域多孤子解和渐近分析及其动力学分析 |
| 5.3 孤子解的动力学演化 |
| 5.4 本章小结 |
| 第6章 逆空时非局域自对偶网络方程的解析解及动力学分析 |
| 6.1 离散N-波达布变换 |
| 6.2 多孤子解和渐近分析及其动力学分析 |
| 6.3 本章小结 |
| 6.4 第三章至第六章中四类非线性自对偶网络方程的孤子解性质比较 |
| 第7章 与非线性自对偶网络方程有关的Toda类晶格方程的可积性和解析解研究 |
| 7.1 方程族与Hamiltonian结构 |
| 7.2 无穷守恒律 |
| 7.3 离散广义(m,N-m)-波达布变换 |
| 7.4 离散广义(m,N-m)-波达布变换的应用 |
| 7.4.1 多孤子解及其动力学分析——应用离散的N-波达布变换 |
| 7.4.2 有理解和半有理解——应用离散的广义(1,N-1)-波达布变换 |
| 7.4.3 混合解——应用离散的广义(2,N-2)-波达布变换 |
| 7.5 本章小结 |
| 第8章 总结与展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 个人简历 |
（4）贝尔多项式与非线性发展方程的可积性与相关问题研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 研究内容 |
| 1.3 研究方法 |
| 1.3.1 Hirota双线性导数 |
| 1.3.2 Bell多项式理论 |
| 第2章 两类(3+1)维广义非线性发展方程的新解 |
| 2.1 两类(3+1)维广义非线性发展方程及其背景 |
| 2.2 (3+1)维广义KdV-type方程的新解及其分析 |
| 2.2.1 N-孤子解 |
| 2.2.2 Lump解与解的性质 |
| 2.2.3 Lump扭结解与解的性质 |
| 2.2.4 Lump孤子解与解的性质 |
| 2.3 (3+1)维广义KdV-type方程的新解与解的相互作用 |
| 2.3.1 双扭结解与解的相互作用 |
| 2.3.2 呼吸解与解的相互作用 |
| 2.3.3 多波解与解的相互作用 |
| 2.4 (3+1)维广义非线性发展方程的高阶Lump解及其相互作用 |
| 2.4.1 双线性形式与B?cklund变换 |
| 2.4.2 高阶Lump解及其相互作用 |
| 2.4.3 高阶Lump孤子N-M型叠加解 |
| 2.5 (3+1)维广义非线性发展方程的周期型叠加解 |
| 2.5.1 周期扭结N-M型叠加解 |
| 2.5.2 周期孤子N-M型叠加解 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 两类(4+1)维非线性发展方程的新精确解 |
| 3.1 考虑的高维非线性发展方程及其背景 |
| 3.2 (4+1)维KdV-like方程的可积性与相关问题研究 |
| 3.2.1 双线性形式 |
| 3.2.2 B?cklund变换与Lax对 |
| 3.2.3 无穷守恒律 |
| 3.3 (4+1)维KdV-like方程的高阶Lump解与解的相互作用 |
| 3.3.1 高阶Lump解 |
| 3.3.2 高阶Lump扭结N型叠加解 |
| 3.3.3 高阶Lump-cosh-N-cos-M型叠加解 |
| 3.4 (4+1)维KdV-like方程不同函数叠加的解 |
| 3.4.1 Exp-cosh-N-cos-M型叠加解 |
| 3.4.2 Exp-tanh-N-sin-M型叠加解 |
| 3.5 构造(4+1)维BLMP方程新解的定理及其应用 |
| 3.5.1 Lump扭结波解 |
| 3.5.2 Lump孤立波解 |
| 3.6 (4+1)维BLMP方程的周期型叠加解与复合型叠加解 |
| 3.6.1 周期型叠加解 |
| 3.6.2 复合型叠加解 |
| 3.7 本章小结 |
| 第4章 三类高维变系数非线性发展方程的多种新解 |
| 4.1 研究的三类高维变系数非线性发展方程与其它方程的关系 |
| 4.2 (3+1)维变系数DJKM方程的多种新解及其性质 |
| 4.2.1 呼吸扭结波解与解的性质 |
| 4.2.2 怪波解与解的性质 |
| 4.2.3 三孤立波解与解的性质 |
| 4.3 (3+1)维变系数BLMP方程的几种新解与解的相互作用 |
| 4.3.1 呼吸扭结波解与解的相互作用 |
| 4.3.2 三孤立波解与解的相互作用 |
| 4.4 (3+1)维变系数BLMP方程不同函数叠加的解 |
| 4.4.1 Lump-N-cosh-M-sin-L型叠加解 |
| 4.4.2 Tanh-N-cosh-M-cos-L型叠加解 |
| 4.4.3 不同函数的复合型解 |
| 4.5 (2+1)维变系数BLMP-BK方程的新解 |
| 4.5.1 N-孤子解 |
| 4.5.2 Lump N-孤子解与解的相互作用 |
| 4.5.3 不同函数的复合型解 |
| 4.5.4 不同函数的有理解 |
| 4.6 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 附录1 |
| 附录2 |
| 攻读硕士学位期间的研究成果 |
| 致谢 |
（5）几类非线性随机微分方程的数值方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题的研究背景 |
| 1.2 课题的研究现状 |
| 1.2.1 随机常微分方程数值方法的研究现状 |
| 1.2.2 Markov调制的随机微分方程数值方法的研究现状 |
| 1.2.3 随机延迟微分方程数值方法的研究现状 |
| 1.3 常用符号 |
| 1.4 本文的主要研究内容 |
| 第2章 非线性随机常微分方程显式两步方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 投影两步EM方法 |
| 2.3.1 投影两步EM方法的稳定性 |
| 2.3.2 投影两步EM方法的相容性 |
| 2.3.3 投影两步EM方法的收敛性 |
| 2.4 投影两步Milstein方法 |
| 2.4.1 投影两步Milstein方法的稳定性 |
| 2.4.2 投影两步Milstein方法的相容性 |
| 2.4.3 投影两步Milstein方法的收敛性 |
| 2.5 数值实验 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 非线性Markov调制的随机微分方程显式投影方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 投影单步EM方法的收敛性 |
| 3.4 投影两步EM方法的收敛性 |
| 3.5 小噪声随机常微分方程投影方法的收敛性 |
| 3.6 小噪声Markov调制的随机微分方程投影方法的收敛性 |
| 3.7 数值实验 |
| 3.8 本章小结 |
| 第4章 非线性中立型随机延迟积分微分方程分裂步theta方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 全局解的存在唯一性 |
| 4.3 分裂步theta方法以及它的矩性质 |
| 4.4 分裂步theta方法的收敛性 |
| 4.5 分裂步theta方法的渐近有界性和均方指数稳定性 |
| 4.6 数值实验 |
| 4.7 本章小结 |
| 第5章 非线性随机常微分方程保正对数方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 问题描述 |
| 5.3 数值方法的几乎必然收敛性 |
| 5.4 数值方法的强收敛性 |
| 5.5 数值方法的收敛速率 |
| 5.6 数值实验 |
| 5.7 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（6）非线性偏微分方程的可积耦合、Hamilton结构、Darboux变换和精确解（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 R-矩阵方法的研究背景 |
| 1.2 非线性偏微分方程精确求解的研究背景 |
| 1.3 可积系统的研究背景 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 2 离散晶格系统的Hamilton结构和守恒律 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 离散可积系统的生成及其Hamilton结构 |
| 2.3 离散可积系统的递归算子 |
| 2.4 约化离散可积系统的守恒律 |
| 3 基于Bell多项式的非线性偏微分方程的可积性质 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 变系数KdV方程的双线性B?cklaund变换和Lax对 |
| 3.3 广义KdV方程的双线性形式、B?cklaund变换、Lax对和无穷守恒律 |
| 4 可积耦合及其约化 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.2 Geng-Cao族的两个扩展可积模型 |
| 4.3 自对偶Yang–Mills方程在R~3 中的应用 |
| 4.4 Levi族的两个扩展可积模型及其约化 |
| 5 (2+1)-维可积系统的Darboux变换和精确解 |
| 5.1 预备知识 |
| 5.2 两个(2+1)-维可积族 |
| 5.3 (2+1)-SWW方程的Darboux变换 |
| 5.4 一个含有反演算子的(2+1)-维非线性演化SWW系统 |
| 6 主要结论和研究展望 |
| 6.1 主要结论 |
| 6.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 学位论文数据集 |
（7）非线性偏微分方程的可积性和非线性波的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 可积性理论的研究背景 |
| §1.2 非线性波的研究背景 |
| §1.3 预备知识 |
| §1.4 论文的内容安排 |
| 第二章 变系数非线性偏微分方程的对称、精确解和守恒律 |
| §2.1 (2+1)-维变系数NLS方程的对称、精确解和守恒律 |
| §2.2 (1+1)-维变系数AKNS方程的对称约化和精确解 |
| §2.3 本章小结 |
| 第三章 (3+1)-维BKP方程的Backlund变换、非线性波和相互作用解 |
| §3.1 BKP方程的双线性形式 |
| §3.2 BKP方程的双线性Backlund变换和Lax对 |
| §3.3 BKP方程的非线性波与相互作用解 |
| §3.4 本章小结 |
| 第四章 基于双线性形式的非线性偏微分方程的多孤子解 |
| §4.1 (3+1)-维NEE方程的多孤子解 |
| §4.2 (3+1)-维BKP方程的多孤子解 |
| §4.3 本章小结 |
| 第五章 高维非线性偏微分方程的lump解及相互作用解 |
| §5.1 (3+1)-维KdV-型方程的lump解及相互作用解 |
| §5.2 (3+1)-维KP-Boussinesq-like方程的lump解及相互作用解 |
| §5.3 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| §6.1 本文总结 |
| §6.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间发表论文与研究成果清单 |
| 致谢 |
（8）A-调和方程弱解的正则性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 引言 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 问题背景及研究意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 文章结构及主要工作 |
| 第2章 A-调和方程弱解的正则性 |
| 2.1 正则性 |
| 2.2 可积性 |
| 2.3 H?lder连续性 |
| 2.4 奇点可去性 |
| 第3章 齐次A-调和方程很弱解的全局正则性 |
| 3.1 引言及主要结论 |
| 3.2 预备引理 |
| 3.3 定理3.2的证明 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 A-调和方程divA(x,?u)=f(x)很弱解的全局正则性 |
| 4.1 引言及主要结论 |
| 4.2 预备引理 |
| 4.3 定理4.5的证明 |
| 4.4 本章小结 |
| 第5章 A-调和方程divA(x,?u)=B(x,?u)很弱解的全局正则性 |
| 5.1 引言及主要结论 |
| 5.2 定理5.3的证明 |
| 5.3 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 导师简介 |
| 作者简介 |
| 学位论文数据集 |
（9）关于分析力学的基础与展望（论文提纲范文）
| 引言 |
| 1 分析力学的基本方程及其适用性 |
| 2 关于微分变分原理与积分变分原理 |
| 3 非完整约束力学系统 |
| 3.1 非完整系统的特点与困惑 |
| 3.2 非完整力学的几何动力学 |
| 3.3 非完整力学的发展趋势 |
| 4 Birkhoff系统 |
| 4.1 Birkhoff问题的由来 |
| 4.2 Birkhoff力学的基本特征 |
| 4.3 关于Birkhoff力学的发展 |
| 5 Noether对称性与Lie对称性及其推广 |
| 5.1 对称性与守恒定律关系之演化 |
| 5.2 Noether对称性、Cartan对称性与守恒量 |
| 5.3 Lie对称性及其推广 |
| 6 分析力学与辛几何结构 |
| 6.1 辛几何概念的由来 |
| 6.2 辛流形的局部正则结构 |
| 6.3 保辛结构的对称性—辛群 |
| 6.4 辛流形的整体性质 |
| 7 Lie群作用与对称性约化 |
| 7.1 对称性约化的由来 |
| 7.2 Lie群与Lie代数的伴随表示 |
| 7.3 辛流形上的动量映射 |
| 7.4 Cartan辛约化 |
| 7.5 Marsden-Weinstein约化 |
| 8 完整和非完整系统的可积性 |
| 8.1 Hamilton系统的可积性 |
| 8.2 非完整系统的可积性 |
| 9 结语 |
（10）椭圆方程障碍问题解的性质（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 国内外研究现状 |
| 1.2 本文主要工作和安排 |
| 第2章 各向异性椭圆方程双边障碍问题解的正则性 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 引理和主要结果 |
| 2.3 定理的证明 |
| 第3章 带VMO系数椭圆型方程障碍问题弱解的性质 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 引理和主要结果 |
| 3.3 定理的证明 |
| 第4章 非齐次椭圆方程很弱解的比较原理 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.2 引理和主要结果 |
| 4.3 定理的证明 |
| 4.4 本章小结 |
| 第5章 微分形式椭圆方程障碍问题很弱解的正则性 |
| 5.1 预备知识 |
| 5.2 引理和主要结果 |
| 5.3 定理的证明 |
| 5.4 本章小结 |
| 第6章 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 作者在读期间发表的学术论文及参加的科研项目 |
四、一个可积性定理的推广与应用（论文参考文献）
- [1]两类非线性微分方程的解及可积性分析[D]. 刘倩. 华北电力大学(北京), 2021(01)
- [2]引力理论中的守恒荷及其在黑洞物理中的应用[D]. 丁海峰. 上海师范大学, 2021(08)
- [3]几类自对偶网络方程的可积性及解析研究[D]. 袁翠连. 北京信息科技大学, 2021(08)
- [4]贝尔多项式与非线性发展方程的可积性与相关问题研究[D]. 韩鹏飞. 内蒙古师范大学, 2021(08)
- [5]几类非线性随机微分方程的数值方法研究[D]. 易玉连. 哈尔滨工业大学, 2020(02)
- [6]非线性偏微分方程的可积耦合、Hamilton结构、Darboux变换和精确解[D]. 郭秀荣. 中国矿业大学, 2020(01)
- [7]非线性偏微分方程的可积性和非线性波的研究[D]. 刘娜. 山东师范大学, 2020(03)
- [8]A-调和方程弱解的正则性研究[D]. 闫硕. 华北理工大学, 2020(02)
- [9]关于分析力学的基础与展望[J]. 郭永新,刘世兴. 动力学与控制学报, 2019(05)
- [10]椭圆方程障碍问题解的性质[D]. 杨超. 杭州电子科技大学, 2020(02)